Problema de la Semana

Actualizado a la Oct 7, 2013 8:24 AM

Para obtener más práctica en calculus, te traemos el siguiente problema de la semana:

¿Cómo podemos encontrar la integral de \(\csc^{3}x\)?

¡Echa un vistazo a la solución a continuación!



\[\int \csc^{3}x \, dx\]

1
Usa Integración por Partes en \(\int \csc^{3}x \, dx\).
Let \(u=\csc{x}\), \(dv=\csc^{2}x\), \(du=-\csc{x}\cot{x} \, dx\), \(v=-\cot{x}\)

2
Sustituye lo anterior en \(uv-\int v \, du\).
\[-\csc{x}\cot{x}-\int \cot^{2}x\csc{x} \, dx\]

3
Usa Identidades Pitagóricas: \(\cot^{2}x=\csc^{2}x-1\).
\[-\csc{x}\cot{x}-\int (\csc^{2}x-1)\csc{x} \, dx\]

4
Expandir.
\[-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x-\csc{x} \, dx\]

5
Usa Regla de la Suma: \(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\).
\[-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx\]

6
Iguálalo a la integral original \(\int \csc^{3}x \, dx\).
\[\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx\]

7
Suma \(\int \csc^{3}x \, dx\) a ambos lados.
\[\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx\]

8
Simplifica  \(\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx\)  a  \(2\int \csc^{3}x \, dx\).
\[2\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx\]

9
Divide ambos lados por \(2\).
\[\int \csc^{3}x \, dx=\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}\]

10
Integral original resuelta.
\[\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}\]

11
Usa Integración Trigonométrica: La integral de \(\csc{x}\) es \(\ln{(\csc{x}-\cot{x})}\).
\[\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}\]

12
Añade la constante.
\[\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}+C\]

Hecho
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