Problema de la Semana

Actualizado a la Oct 7, 2013 8:24 AM

Para obtener más práctica en calculus, te traemos el siguiente problema de la semana:

¿Cómo podemos encontrar la integral de csc⁡3x\csc^{3}x?

¡Echa un vistazo a la solución a continuación!



∫csc⁡3x dx\int \csc^{3}x \, dx

1
Usa Integración por Partes en ∫csc⁡3x dx\int \csc^{3}x \, dx.
Let u=csc⁡xu=\csc{x}, dv=csc⁡2xdv=\csc^{2}x, du=−csc⁡xcot⁡x dxdu=-\csc{x}\cot{x} \, dx, v=−cot⁡xv=-\cot{x}

2
Sustituye lo anterior en uv−∫v duuv-\int v \, du.
−csc⁡xcot⁡x−∫cot⁡2xcsc⁡x dx-\csc{x}\cot{x}-\int \cot^{2}x\csc{x} \, dx

3
Usa Identidades Pitagóricas: cot⁡2x=csc⁡2x−1\cot^{2}x=\csc^{2}x-1.
−csc⁡xcot⁡x−∫(csc⁡2x−1)csc⁡x dx-\csc{x}\cot{x}-\int (\csc^{2}x-1)\csc{x} \, dx

4
Expandir.
−csc⁡xcot⁡x−∫csc⁡3x−csc⁡x dx-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x-\csc{x} \, dx

5
Usa Regla de la Suma: ∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx.
−csc⁡xcot⁡x−∫csc⁡3x dx+∫csc⁡x dx-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx

6
Iguálalo a la integral original ∫csc⁡3x dx\int \csc^{3}x \, dx.
∫csc⁡3x dx=−csc⁡xcot⁡x−∫csc⁡3x dx+∫csc⁡x dx\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx

7
Suma ∫csc⁡3x dx\int \csc^{3}x \, dx a ambos lados.
∫csc⁡3x dx+∫csc⁡3x dx=−csc⁡xcot⁡x+∫csc⁡x dx\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx

8
Simplifica  ∫csc⁡3x dx+∫csc⁡3x dx\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx  a  2∫csc⁡3x dx2\int \csc^{3}x \, dx.
2∫csc⁡3x dx=−csc⁡xcot⁡x+∫csc⁡x dx2\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx

9
Divide ambos lados por 22.
∫csc⁡3x dx=−csc⁡xcot⁡x+∫csc⁡x dx2\int \csc^{3}x \, dx=\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}

10
Integral original resuelta.
−csc⁡xcot⁡x+∫csc⁡x dx2\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}

11
Usa Integración Trigonométrica: La integral de csc⁡x\csc{x} es ln⁡(csc⁡x−cot⁡x)\ln{(\csc{x}-\cot{x})}.
−csc⁡xcot⁡x+ln⁡(csc⁡x−cot⁡x)2\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}

12
Añade la constante.
−csc⁡xcot⁡x+ln⁡(csc⁡x−cot⁡x)2+C\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}+C

Hecho
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