本週的问题

更新于Oct 7, 2013 8:24 AM

为了在calculus中获得更多练习，我们为您带来了本週的这个问题：

我们怎样才能找\(\csc^{3}x\)的积分？

看看下面的答案！



\[\int \csc^{3}x \, dx\]

1
在\(\int \csc^{3}x \, dx\)上使用分部积分法。
Let \(u=\csc{x}\), \(dv=\csc^{2}x\), \(du=-\csc{x}\cot{x} \, dx\), \(v=-\cot{x}\)

2
将上述内容代回\(uv-\int v \, du\)。
\[-\csc{x}\cot{x}-\int \cot^{2}x\csc{x} \, dx\]

3
使用Pythagorean恆等式：\(\cot^{2}x=\csc^{2}x-1\)。
\[-\csc{x}\cot{x}-\int (\csc^{2}x-1)\csc{x} \, dx\]

4
扩展。
\[-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x-\csc{x} \, dx\]

5
使用求和法则：\(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\)。
\[-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx\]

6
将其设为等于原本的积分\(\int \csc^{3}x \, dx\)。
\[\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx\]

7
向两边添加\(\int \csc^{3}x \, dx\)。
\[\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx\]

8
简化 \(\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx\) 至 \(2\int \csc^{3}x \, dx\)。
\[2\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx\]

9
将两边除以\(2\)。
\[\int \csc^{3}x \, dx=\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}\]

10
原本的积分解决了。
\[\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}\]

11
使用三角积分法: \(\csc{x}\)的积分是\(\ln{(\csc{x}-\cot{x})}\)。
\[\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}\]

12
添加常量。
\[\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}+C\]

完成
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