本週的问题

更新于Oct 7, 2013 8:24 AM

为了在calculus中获得更多练习，我们为您带来了本週的这个问题：

我们怎样才能找csc⁡3x\csc^{3}x的积分？

看看下面的答案！



∫csc⁡3x dx\int \csc^{3}x \, dx

1
在∫csc⁡3x dx\int \csc^{3}x \, dx上使用分部积分法。
Let u=csc⁡xu=\csc{x}, dv=csc⁡2xdv=\csc^{2}x, du=−csc⁡xcot⁡x dxdu=-\csc{x}\cot{x} \, dx, v=−cot⁡xv=-\cot{x}

2
将上述内容代回uv−∫v duuv-\int v \, du。
−csc⁡xcot⁡x−∫cot⁡2xcsc⁡x dx-\csc{x}\cot{x}-\int \cot^{2}x\csc{x} \, dx

3
使用Pythagorean恆等式：cot⁡2x=csc⁡2x−1\cot^{2}x=\csc^{2}x-1。
−csc⁡xcot⁡x−∫(csc⁡2x−1)csc⁡x dx-\csc{x}\cot{x}-\int (\csc^{2}x-1)\csc{x} \, dx

4
扩展。
−csc⁡xcot⁡x−∫csc⁡3x−csc⁡x dx-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x-\csc{x} \, dx

5
使用求和法则：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx。
−csc⁡xcot⁡x−∫csc⁡3x dx+∫csc⁡x dx-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx

6
将其设为等于原本的积分∫csc⁡3x dx\int \csc^{3}x \, dx。
∫csc⁡3x dx=−csc⁡xcot⁡x−∫csc⁡3x dx+∫csc⁡x dx\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx

7
向两边添加∫csc⁡3x dx\int \csc^{3}x \, dx。
∫csc⁡3x dx+∫csc⁡3x dx=−csc⁡xcot⁡x+∫csc⁡x dx\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx

8
简化 ∫csc⁡3x dx+∫csc⁡3x dx\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx 至 2∫csc⁡3x dx2\int \csc^{3}x \, dx。
2∫csc⁡3x dx=−csc⁡xcot⁡x+∫csc⁡x dx2\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx

9
将两边除以22。
∫csc⁡3x dx=−csc⁡xcot⁡x+∫csc⁡x dx2\int \csc^{3}x \, dx=\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}

10
原本的积分解决了。
−csc⁡xcot⁡x+∫csc⁡x dx2\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}

11
使用三角积分法: csc⁡x\csc{x}的积分是ln⁡(csc⁡x−cot⁡x)\ln{(\csc{x}-\cot{x})}。
−csc⁡xcot⁡x+ln⁡(csc⁡x−cot⁡x)2\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}

12
添加常量。
−csc⁡xcot⁡x+ln⁡(csc⁡x−cot⁡x)2+C\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}+C

完成
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