本週的问题

更新于Oct 7, 2013 8:24 AM

为了在calculus中获得更多练习,我们为您带来了本週的这个问题:

我们怎样才能找csc3x\csc^{3}x的积分?

看看下面的答案!



csc3xdx\int \csc^{3}x \, dx

1
csc3xdx\int \csc^{3}x \, dx上使用分部积分法
Let u=cscxu=\csc{x}, dv=csc2xdv=\csc^{2}x, du=cscxcotxdxdu=-\csc{x}\cot{x} \, dx, v=cotxv=-\cot{x}

2
将上述内容代回uvvduuv-\int v \, du
cscxcotxcot2xcscxdx-\csc{x}\cot{x}-\int \cot^{2}x\csc{x} \, dx

3
使用Pythagorean恆等式cot2x=csc2x1\cot^{2}x=\csc^{2}x-1
cscxcotx(csc2x1)cscxdx-\csc{x}\cot{x}-\int (\csc^{2}x-1)\csc{x} \, dx

4
扩展。
cscxcotxcsc3xcscxdx-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x-\csc{x} \, dx

5
使用求和法则f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx
cscxcotxcsc3xdx+cscxdx-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx

6
将其设为等于原本的积分csc3xdx\int \csc^{3}x \, dx
csc3xdx=cscxcotxcsc3xdx+cscxdx\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx

7
向两边添加csc3xdx\int \csc^{3}x \, dx
csc3xdx+csc3xdx=cscxcotx+cscxdx\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx

8
简化 csc3xdx+csc3xdx\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx2csc3xdx2\int \csc^{3}x \, dx
2csc3xdx=cscxcotx+cscxdx2\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx

9
将两边除以22
csc3xdx=cscxcotx+cscxdx2\int \csc^{3}x \, dx=\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}

10
原本的积分解决了。
cscxcotx+cscxdx2\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}

11
使用三角积分法: cscx\csc{x}的积分是ln(cscxcotx)\ln{(\csc{x}-\cot{x})}
cscxcotx+ln(cscxcotx)2\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}

12
添加常量。
cscxcotx+ln(cscxcotx)2+C\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}+C

完成