今週の問題

Oct 7, 2013 8:24 AMに更新

calculus をもっと練習するために，今週はこの問題を用意しました。

どのように\(\csc^{3}x\)の積分を見つけることができますか？

下の解答を見てみましょう！



\[\int \csc^{3}x \, dx\]

1
\(\int \csc^{3}x \, dx\)に部分積分を使用する。
Let \(u=\csc{x}\), \(dv=\csc^{2}x\), \(du=-\csc{x}\cot{x} \, dx\), \(v=-\cot{x}\)

2
上記を\(uv-\int v \, du\)に代入する。
\[-\csc{x}\cot{x}-\int \cot^{2}x\csc{x} \, dx\]

3
ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽの定理：\(\cot^{2}x=\csc^{2}x-1\)を使用する。
\[-\csc{x}\cot{x}-\int (\csc^{2}x-1)\csc{x} \, dx\]

4
展開。
\[-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x-\csc{x} \, dx\]

5
和の積分：\(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\)を使用する。
\[-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx\]

6
元の積分値\(\int \csc^{3}x \, dx\)と等しくなるように設定します。
\[\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}-\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc{x} \, dx\]

7
\(\int \csc^{3}x \, dx\) を両辺に加える。
\[\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx\]

8
\(\int \csc^{3}x \, dx+\int \csc^{3}x \, dx\) を \(2\int \csc^{3}x \, dx\) に簡略化する。
\[2\int \csc^{3}x \, dx=-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx\]

9
\(2\)で両辺を割る。
\[\int \csc^{3}x \, dx=\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}\]

10
元の積分が解けました。
\[\frac{-\csc{x}\cot{x}+\int \csc{x} \, dx}{2}\]

11
三角関数の積分を使用する: \(\csc{x}\)の積分は\(\ln{(\csc{x}-\cot{x})}\)。
\[\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}\]

12
定数を追加する。
\[\frac{-\csc{x}\cot{x}+\ln{(\csc{x}-\cot{x})}}{2}+C\]

完了
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