今週の問題

Nov 7, 2022 2:23 PMに更新

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今週はもう一題 equation の問題があります：

どうやって ${(\frac{5}{v})}^{2}\times \frac{3}{v+2}=\frac{75}{16}$ を解くだろう？

さあやってみましょう！

{(\frac{5}{v})}^{2}\times \frac{3}{v+2}=\frac{75}{16}

商と指数の分配:

{(\frac{x}{y})}^{a}=\frac{{x}^{a}}{{y}^{a}}

を使用する。

\frac{{5}^{2}}{{v}^{2}}\times \frac{3}{v+2}=\frac{75}{16}

{5}^{2}

を

25

に簡略化する。

\frac{25}{{v}^{2}}\times \frac{3}{v+2}=\frac{75}{16}

この定義を使用してください：

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}

。

\frac{25\times 3}{{v}^{2}(v+2)}=\frac{75}{16}

25\times 3

を

75

に簡略化する。

\frac{75}{{v}^{2}(v+2)}=\frac{75}{16}

{v}^{2}(v+2)

を両辺に掛ける。

75=\frac{75}{16}{v}^{2}(v+2)

\frac{75}{16}{v}^{2}(v+2)

を

\frac{75{v}^{2}(v+2)}{16}

に簡略化する。

75=\frac{75{v}^{2}(v+2)}{16}

16

を両辺に掛ける。

1200=75{v}^{2}(v+2)

展開。

1200=75{v}^{3}+150{v}^{2}

全ての項を一方に移動させる。

1200-75{v}^{3}-150{v}^{2}=0

共通項

75

をくくりだす。

75(16-{v}^{3}-2{v}^{2})=0

多項式除算を使用して

16-{v}^{3}-2{v}^{2}

を因数分解す。

以下を因数分解します。

16-{v}^{3}-2{v}^{2}

まず，定数項16のすべての因数を見つける。

1, 2, 4, 8, 16

上記の各因子を，剰余定理を使って試す。

1をvで置き換える。結果は0ではないので，v-1は素数ではありません。.

16-{1}^{3}-2\times {1}^{2} = 13

-1をvで置き換える。結果は0ではないので，v+1は素数ではありません。.

16-{(-1)}^{3}-2{(-1)}^{2} = 15

2をvで置き換える。結果は0なので，v-2は要素です。.

16-{2}^{3}-2\times {2}^{2} = 0

v-2

	$-v^2$	$-4v$	$-8$
$v-2$	$-v^3$	$-2v^2$		$16$
	$-v^3$	$2v^2$
		$-4v^2$		$16$
		$-4v^2$	$8v$
			$-8v$	$16$
			$-8v$	$16$

上記を使用して式を書き換える。

-{v}^{2}-4v-8

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75(-{v}^{2}-4v-8)(v-2)=0

vを解く。

v=2

2次方程式の解の公式を利用する。

一般に，

a{x}^{2}+bx+c=0

とすると，次の2つの解が存在します：

x=\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a},\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}

この場合，

a=-1

，

b=-4

，

c=-8

。

{v}^{}=\frac{4+\sqrt{{(-4)}^{2}-4\times 8}}{-2},\frac{4-\sqrt{{(-4)}^{2}-4\times 8}}{-2}

簡略化する。

v=\frac{4+4\imath }{-2},\frac{4-4\imath }{-2}

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v=\frac{4+4\imath }{-2},\frac{4-4\imath }{-2}

ここまでの計算からすべての解を集める。

v=2,\frac{4+4\imath }{-2},\frac{4-4\imath }{-2}

解を簡単にする。

v=2,-2(1+\imath ),-2(1-\imath )

完了