今週の問題

Dec 16, 2013 3:55 PMに更新

今週の問題は，calculusからの出題です。

どのようにln⁡xx5\frac{\ln{x}}{{x}^{5}}を統合しますか？

さあ始めよう！



∫ln⁡xx5 dx\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx

1
∫ln⁡xx5 dx\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dxに部分積分を使用する。
Let u=ln⁡xu=\ln{x}, dv=1x5dv=\frac{1}{{x}^{5}}, du=1x dxdu=\frac{1}{x} \, dx, v=−14x4v=-\frac{1}{4{x}^{4}}

2
上記をuv−∫v duuv-\int v \, duに代入する。
−ln⁡x4x4−∫−14x5 dx-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\int -\frac{1}{4{x}^{5}} \, dx

3
定数倍の法則：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dxを使用する。
−ln⁡x4x4+14∫1x5 dx-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}+\frac{1}{4}\int \frac{1}{{x}^{5}} \, dx

4
べき乗の計算：∫xn dx=xn+1n+1+C\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+Cを使用する。
−ln⁡x4x4−116x4-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}

5
定数を追加する。
−ln⁡x4x4−116x4+C-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}+C

完了
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