本週的问题

更新于Dec 16, 2013 3:55 PM

本週的问题来自calculus类别。

你会如何用积分法于ln⁡xx5\frac{\ln{x}}{{x}^{5}}？

让我们开始！



∫ln⁡xx5 dx\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx

1
在∫ln⁡xx5 dx\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx上使用分部积分法。
Let u=ln⁡xu=\ln{x}, dv=1x5dv=\frac{1}{{x}^{5}}, du=1x dxdu=\frac{1}{x} \, dx, v=−14x4v=-\frac{1}{4{x}^{4}}

2
将上述内容代回uv−∫v duuv-\int v \, du。
−ln⁡x4x4−∫−14x5 dx-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\int -\frac{1}{4{x}^{5}} \, dx

3
使用常数因数法则：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
−ln⁡x4x4+14∫1x5 dx-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}+\frac{1}{4}\int \frac{1}{{x}^{5}} \, dx

4
使用指数法则：∫xn dx=xn+1n+1+C\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C。
−ln⁡x4x4−116x4-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}

5
添加常量。
−ln⁡x4x4−116x4+C-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}+C

完成
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