Problema de la Semana

Actualizado a la Feb 10, 2014 3:33 PM

Esta semana tenemos otro calculus problema:

¿Cómo podemos encontrar la integral de cot⁡3x\cot^{3}x?

¡Vamos a empezar!



∫cot⁡3x dx\int \cot^{3}x \, dx

1
Usa Identidades Pitagóricas: cot⁡2x=csc⁡2x−1\cot^{2}x=\csc^{2}x-1.
∫(csc⁡2x−1)cot⁡x dx\int (\csc^{2}x-1)\cot{x} \, dx

2
Expandir.
∫cot⁡xcsc⁡2x−cot⁡x dx\int \cot{x}\csc^{2}x-\cot{x} \, dx

3
Usa Regla de la Suma: ∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx.
∫cot⁡xcsc⁡2x dx−∫cot⁡x dx\int \cot{x}\csc^{2}x \, dx-\int \cot{x} \, dx

4
Simplifica las funciones trigonométricas.
∫cos⁡xsin⁡3x dx−∫cot⁡x dx\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx-\int \cot{x} \, dx

5
Usa Integración por Sustitución en ∫cos⁡xsin⁡3x dx\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx.
Let u=sin⁡xu=\sin{x}, du=cos⁡x dxdu=\cos{x} \, dx

6
Usando uu y dudu como ves arriba, reescribe ∫cos⁡xsin⁡3x dx\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx.
∫1u3 du\int \frac{1}{{u}^{3}} \, du

7
Usa Regla del Exponente: ∫xn dx=xn+1n+1+C\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C.
−12u2-\frac{1}{2{u}^{2}}

8
Sustituye u=sin⁡xu=\sin{x} de nuevo en la integral original.
−12sin⁡2x-\frac{1}{2\sin^{2}x}

9
Reescribe la integral con la sustitución completada.
−12sin⁡2x−∫cot⁡x dx-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\int \cot{x} \, dx

10
Usa Integración Trigonométrica: La integral de cot⁡x\cot{x} es ln⁡(sin⁡x)\ln{(\sin{x})}.
−12sin⁡2x−ln⁡(sin⁡x)-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}

11
Añade la constante.
−12sin⁡2x−ln⁡(sin⁡x)+C-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}+C

Hecho
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