今週の問題

Feb 10, 2014 3:33 PMに更新

今週はもう一題 calculus の問題があります：

どのようにcot⁡3x\cot^{3}xの積分を見つけることができますか？

さあやってみましょう！



∫cot⁡3x dx\int \cot^{3}x \, dx

1
ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽの定理：cot⁡2x=csc⁡2x−1\cot^{2}x=\csc^{2}x-1を使用する。
∫(csc⁡2x−1)cot⁡x dx\int (\csc^{2}x-1)\cot{x} \, dx

2
展開。
∫cot⁡xcsc⁡2x−cot⁡x dx\int \cot{x}\csc^{2}x-\cot{x} \, dx

3
和の積分：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dxを使用する。
∫cot⁡xcsc⁡2x dx−∫cot⁡x dx\int \cot{x}\csc^{2}x \, dx-\int \cot{x} \, dx

4
三角関数を簡易化する。
∫cos⁡xsin⁡3x dx−∫cot⁡x dx\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx-\int \cot{x} \, dx

5
∫cos⁡xsin⁡3x dx\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dxに置換積分を使用する。
Let u=sin⁡xu=\sin{x}, du=cos⁡x dxdu=\cos{x} \, dx

6
上記のuuとduduを使用して，∫cos⁡xsin⁡3x dx\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dxを書き直す。
∫1u3 du\int \frac{1}{{u}^{3}} \, du

7
べき乗の計算：∫xn dx=xn+1n+1+C\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+Cを使用する。
−12u2-\frac{1}{2{u}^{2}}

8
u=sin⁡xu=\sin{x}を元の積分に戻す。
−12sin⁡2x-\frac{1}{2\sin^{2}x}

9
完了した置換で積分を書き直す。
−12sin⁡2x−∫cot⁡x dx-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\int \cot{x} \, dx

10
三角関数の積分を使用する: cot⁡x\cot{x}の積分はln⁡(sin⁡x)\ln{(\sin{x})}。
−12sin⁡2x−ln⁡(sin⁡x)-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}

11
定数を追加する。
−12sin⁡2x−ln⁡(sin⁡x)+C-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}+C

完了
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