本週的問題

更新於Feb 10, 2014 3:33 PM

本週我們又遇到了calculus問題：

我們怎樣才能找\(\cot^{3}x\)的積分？

開始吧！



\[\int \cot^{3}x \, dx\]

1
使用Pythagorean恆等式：\(\cot^{2}x=\csc^{2}x-1\)。
\[\int (\csc^{2}x-1)\cot{x} \, dx\]

2
擴展。
\[\int \cot{x}\csc^{2}x-\cot{x} \, dx\]

3
使用求和法則：\(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\)。
\[\int \cot{x}\csc^{2}x \, dx-\int \cot{x} \, dx\]

4
簡化三角函數。
\[\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx-\int \cot{x} \, dx\]

5
在\(\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx\)上使用換元積分法。
Let \(u=\sin{x}\), \(du=\cos{x} \, dx\)

6
使用上面的\(u\)和\(du\)，重寫\(\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx\)。
\[\int \frac{1}{{u}^{3}} \, du\]

7
使用指數法則：\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)。
\[-\frac{1}{2{u}^{2}}\]

8
將\(u=\sin{x}\)代回原本的積分。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}\]

9
用完成的代回重寫積分。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\int \cot{x} \, dx\]

10
使用三角積分法: \(\cot{x}\)的積分是\(\ln{(\sin{x})}\)。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}\]

11
添加常量。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}+C\]

完成
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