本週的问题

更新于Feb 10, 2014 3:33 PM

本週我们又遇到了calculus问题：

我们怎样才能找cot⁡3x\cot^{3}x的积分？

开始吧！



∫cot⁡3x dx\int \cot^{3}x \, dx

1
使用Pythagorean恆等式：cot⁡2x=csc⁡2x−1\cot^{2}x=\csc^{2}x-1。
∫(csc⁡2x−1)cot⁡x dx\int (\csc^{2}x-1)\cot{x} \, dx

2
扩展。
∫cot⁡xcsc⁡2x−cot⁡x dx\int \cot{x}\csc^{2}x-\cot{x} \, dx

3
使用求和法则：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx。
∫cot⁡xcsc⁡2x dx−∫cot⁡x dx\int \cot{x}\csc^{2}x \, dx-\int \cot{x} \, dx

4
简化三角函数。
∫cos⁡xsin⁡3x dx−∫cot⁡x dx\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx-\int \cot{x} \, dx

5
在∫cos⁡xsin⁡3x dx\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx上使用换元积分法。
Let u=sin⁡xu=\sin{x}, du=cos⁡x dxdu=\cos{x} \, dx

6
使用上面的uu和dudu，重写∫cos⁡xsin⁡3x dx\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx。
∫1u3 du\int \frac{1}{{u}^{3}} \, du

7
使用指数法则：∫xn dx=xn+1n+1+C\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C。
−12u2-\frac{1}{2{u}^{2}}

8
将u=sin⁡xu=\sin{x}代回原本的积分。
−12sin⁡2x-\frac{1}{2\sin^{2}x}

9
用完成的代回重写积分。
−12sin⁡2x−∫cot⁡x dx-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\int \cot{x} \, dx

10
使用三角积分法: cot⁡x\cot{x}的积分是ln⁡(sin⁡x)\ln{(\sin{x})}。
−12sin⁡2x−ln⁡(sin⁡x)-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}

11
添加常量。
−12sin⁡2x−ln⁡(sin⁡x)+C-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}+C

完成
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