今週の問題

Sep 9, 2013 8:53 AMに更新

今週はもう一題 calculus の問題があります：

どのようにして\(\tan^{3}x\)の積分を解くことができますか？

さあやってみましょう！



\[\int \tan^{3}x \, dx\]

1
ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽの定理：\(\tan^{2}x=\sec^{2}x-1\)を使用する。
\[\int (\sec^{2}x-1)\tan{x} \, dx\]

2
展開。
\[\int \tan{x}\sec^{2}x-\tan{x} \, dx\]

3
和の積分：\(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\)を使用する。
\[\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx-\int \tan{x} \, dx\]

4
\(\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx\)に置換積分を使用する。
Let \(u=\tan{x}\), \(du=\sec^{2}x \, dx\)

5
上記の\(u\)と\(du\)を使用して，\(\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx\)を書き直す。
\[\int u \, du\]

6
べき乗の計算：\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)を使用する。
\[\frac{{u}^{2}}{2}\]

7
\(u=\tan{x}\)を元の積分に戻す。
\[\frac{\tan^{2}x}{2}\]

8
完了した置換で積分を書き直す。
\[\frac{\tan^{2}x}{2}-\int \tan{x} \, dx\]

9
三角関数の積分を使用する: \(\tan{x}\)の積分は\(\ln{(\sec{x})}\)。
\[\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln{(\sec{x})}\]

10
定数を追加する。
\[\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln{(\sec{x})}+C\]

完了
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