本週的问题

更新于Sep 9, 2013 8:53 AM

本週我们又遇到了calculus问题：

我们如何解决tan⁡3x\tan^{3}x的积分？

开始吧！



∫tan⁡3x dx\int \tan^{3}x \, dx

1
使用Pythagorean恆等式：tan⁡2x=sec⁡2x−1\tan^{2}x=\sec^{2}x-1。
∫(sec⁡2x−1)tan⁡x dx\int (\sec^{2}x-1)\tan{x} \, dx

2
扩展。
∫tan⁡xsec⁡2x−tan⁡x dx\int \tan{x}\sec^{2}x-\tan{x} \, dx

3
使用求和法则：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx。
∫tan⁡xsec⁡2x dx−∫tan⁡x dx\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx-\int \tan{x} \, dx

4
在∫tan⁡xsec⁡2x dx\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx上使用换元积分法。
Let u=tan⁡xu=\tan{x}, du=sec⁡2x dxdu=\sec^{2}x \, dx

5
使用上面的uu和dudu，重写∫tan⁡xsec⁡2x dx\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx。
∫u du\int u \, du

6
使用指数法则：∫xn dx=xn+1n+1+C\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C。
u22\frac{{u}^{2}}{2}

7
将u=tan⁡xu=\tan{x}代回原本的积分。
tan⁡2x2\frac{\tan^{2}x}{2}

8
用完成的代回重写积分。
tan⁡2x2−∫tan⁡x dx\frac{\tan^{2}x}{2}-\int \tan{x} \, dx

9
使用三角积分法: tan⁡x\tan{x}的积分是ln⁡(sec⁡x)\ln{(\sec{x})}。
tan⁡2x2−ln⁡(sec⁡x)\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln{(\sec{x})}

10
添加常量。
tan⁡2x2−ln⁡(sec⁡x)+C\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln{(\sec{x})}+C

完成
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