本週的問題

更新於Sep 23, 2013 4:12 PM

我們怎樣才能找sin⁡3x\sin^{3}x的積分？

以下是答案。



∫sin⁡3x dx\int \sin^{3}x \, dx

1
使用Pythagorean恆等式：sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^{2}x=1-\cos^{2}x。
∫(1−cos⁡2x)sin⁡x dx\int (1-\cos^{2}x)\sin{x} \, dx

2
使用換元積分法
Let u=cos⁡xu=\cos{x}, du=−sin⁡x dxdu=-\sin{x} \, dx

3
使用上面的uu和dudu，重寫∫(1−cos⁡2x)sin⁡x dx\int (1-\cos^{2}x)\sin{x} \, dx。
∫−(1−u2) du\int -(1-{u}^{2}) \, du

4
使用指數法則：∫xn dx=xn+1n+1+C\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C。
u33−u\frac{{u}^{3}}{3}-u

5
將u=cos⁡xu=\cos{x}代回原本的積分。
cos⁡3x3−cos⁡x\frac{\cos^{3}x}{3}-\cos{x}

6
添加常量。
cos⁡3x3−cos⁡x+C\frac{\cos^{3}x}{3}-\cos{x}+C

完成
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