本週的问题

更新于Sep 23, 2013 4:12 PM

我们怎样才能找\(\sin^{3}x\)的积分？

以下是答案。



\[\int \sin^{3}x \, dx\]

1
使用Pythagorean恆等式：\(\sin^{2}x=1-\cos^{2}x\)。
\[\int (1-\cos^{2}x)\sin{x} \, dx\]

2
使用换元积分法
Let \(u=\cos{x}\), \(du=-\sin{x} \, dx\)

3
使用上面的\(u\)和\(du\)，重写\(\int (1-\cos^{2}x)\sin{x} \, dx\)。
\[\int -(1-{u}^{2}) \, du\]

4
使用指数法则：\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)。
\[\frac{{u}^{3}}{3}-u\]

5
将\(u=\cos{x}\)代回原本的积分。
\[\frac{\cos^{3}x}{3}-\cos{x}\]

6
添加常量。
\[\frac{\cos^{3}x}{3}-\cos{x}+C\]

完成
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