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三角関数の逆数の積分説明 \(\int \sin^{-1}{(x)} \, dx=x\sin^{-1}{(x)}+\sqrt{1-{x}^{2}}\) \(\int \cos^{-1}{(x)} \, dx=x\cos^{-1}{(x)}-\sqrt{1-{x}^{2}}\) \(\int \tan^{-1}{(x)} \, dx=x\tan^{-1}{(x)}-\frac{1}{2}\ln{(1+{x}^{2})}\) \(\int \csc^{-1}{(x)} \, dx=x\csc^{-1}{(x)}-\ln{(x+x\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}})}\) \(\int \sec^{-1}{(x)} \, dx=x\sec^{-1}{(x)}-\ln{(x+x\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}})}\) \(\int \cot^{-1}{(x)} \, dx=x\cot^{-1}{(x)}+\frac{1}{2}\ln{(1+{x}^{2})}\) |
例 \[\int \sin^{-1}{(x)} \, dx\] 1 \(\int \sin^{-1}{(x)} \, dx\)に部分積分を使用する。 Let \(u=\sin^{-1}{(x)}\), \(dv=1\), \(du=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\), \(v=x\) 2 上記を\(uv-\int v \, du\)に代入する。 \[(\sin^{-1}{(x)})x-\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\] 3 \(\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\)に置換積分を使用する。 Let \(u=1-{x}^{2}\), \(du=-2x \, dx\), then \(x \, dx=-\frac{1}{2} \, du\) 4 上記の\(u\)と\(du\)を使用して，\(\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\)を書き直す。 \[\int -\frac{1}{2\sqrt{u}} \, du\] 5 定数倍の法則：\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)を使用する。 \[-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du\] 6 \(\frac{1}{\sqrt{x}}={x}^{-\frac{1}{2}}\)であるから，べき乗の計算を利用して，\(\int {x}^{-\frac{1}{2}} \, dx=2{x}^{\frac{1}{2}}\) \[-\sqrt{u}\] 7 \(u=1-{x}^{2}\)を元の積分に戻す。 \[-\sqrt{1-{x}^{2}}\] 8 完了した置換で積分を書き直す。 \[(\sin^{-1}{(x)})x+\sqrt{1-{x}^{2}}\] 9 定数を追加する。 \[(\sin^{-1}{(x)})x+\sqrt{1-{x}^{2}}+C\] 完了  |
も参照してください - 三角関数の積分 |