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逆三角积分法描述 \(\int \sin^{-1}{(x)} \, dx=x\sin^{-1}{(x)}+\sqrt{1-{x}^{2}}\) \(\int \cos^{-1}{(x)} \, dx=x\cos^{-1}{(x)}-\sqrt{1-{x}^{2}}\) \(\int \tan^{-1}{(x)} \, dx=x\tan^{-1}{(x)}-\frac{1}{2}\ln{(1+{x}^{2})}\) \(\int \csc^{-1}{(x)} \, dx=x\csc^{-1}{(x)}-\ln{(x+x\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}})}\) \(\int \sec^{-1}{(x)} \, dx=x\sec^{-1}{(x)}-\ln{(x+x\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}})}\) \(\int \cot^{-1}{(x)} \, dx=x\cot^{-1}{(x)}+\frac{1}{2}\ln{(1+{x}^{2})}\) |
例子 \[\int \sin^{-1}{(x)} \, dx\] 1 在\(\int \sin^{-1}{(x)} \, dx\)上使用分部积分法。 Let \(u=\sin^{-1}{(x)}\), \(dv=1\), \(du=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\), \(v=x\) 2 将上述内容代回\(uv-\int v \, du\)。 \[(\sin^{-1}{(x)})x-\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\] 3 在\(\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\)上使用换元积分法。 Let \(u=1-{x}^{2}\), \(du=-2x \, dx\), then \(x \, dx=-\frac{1}{2} \, du\) 4 使用上面的\(u\)和\(du\)，重写\(\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\)。 \[\int -\frac{1}{2\sqrt{u}} \, du\] 5 使用常数因数法则：\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)。 \[-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du\] 6 \[-\sqrt{u}\] 7 将\(u=1-{x}^{2}\)代回原本的积分。 \[-\sqrt{1-{x}^{2}}\] 8 用完成的代回重写积分。 \[(\sin^{-1}{(x)})x+\sqrt{1-{x}^{2}}\] 9 添加常量。 \[(\sin^{-1}{(x)})x+\sqrt{1-{x}^{2}}+C\] 完成  |
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