|
Español
|
Integración Trigonométrica InversaDescripción \(\int \sin^{-1}{(x)} \, dx=x\sin^{-1}{(x)}+\sqrt{1-{x}^{2}}\) \(\int \cos^{-1}{(x)} \, dx=x\cos^{-1}{(x)}-\sqrt{1-{x}^{2}}\) \(\int \tan^{-1}{(x)} \, dx=x\tan^{-1}{(x)}-\frac{1}{2}\ln{(1+{x}^{2})}\) \(\int \csc^{-1}{(x)} \, dx=x\csc^{-1}{(x)}-\ln{(x+x\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}})}\) \(\int \sec^{-1}{(x)} \, dx=x\sec^{-1}{(x)}-\ln{(x+x\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}})}\) \(\int \cot^{-1}{(x)} \, dx=x\cot^{-1}{(x)}+\frac{1}{2}\ln{(1+{x}^{2})}\) |
Ejemplos \[\int \sin^{-1}{(x)} \, dx\] 1 Usa Integración por Partes en \(\int \sin^{-1}{(x)} \, dx\). Let \(u=\sin^{-1}{(x)}\), \(dv=1\), \(du=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\), \(v=x\) 2 Sustituye lo anterior en \(uv-\int v \, du\). \[(\sin^{-1}{(x)})x-\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\] 3 Usa Integración por Sustitución en \(\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\). Let \(u=1-{x}^{2}\), \(du=-2x \, dx\), then \(x \, dx=-\frac{1}{2} \, du\) 4 Usando \(u\) y \(du\) como ves arriba, reescribe \(\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\). \[\int -\frac{1}{2\sqrt{u}} \, du\] 5 Usa Regla del Factor Constante: \(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\). \[-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du\] 6 Debido a que \(\frac{1}{\sqrt{x}}={x}^{-\frac{1}{2}}\), usando la Regla del Exponente, \(\int {x}^{-\frac{1}{2}} \, dx=2{x}^{\frac{1}{2}}\) \[-\sqrt{u}\] 7 Sustituye \(u=1-{x}^{2}\) de nuevo en la integral original. \[-\sqrt{1-{x}^{2}}\] 8 Reescribe la integral con la sustitución completada. \[(\sin^{-1}{(x)})x+\sqrt{1-{x}^{2}}\] 9 Añade la constante. \[(\sin^{-1}{(x)})x+\sqrt{1-{x}^{2}}+C\] Hecho  |
Ver También |