逆三角積分法

參考 > 微積分學: 積分法

描述

sin1(x)dx=xsin1(x)+1x2\int \sin^{-1}{(x)} \, dx=x\sin^{-1}{(x)}+\sqrt{1-{x}^{2}}

cos1(x)dx=xcos1(x)1x2\int \cos^{-1}{(x)} \, dx=x\cos^{-1}{(x)}-\sqrt{1-{x}^{2}}

tan1(x)dx=xtan1(x)12ln(1+x2)\int \tan^{-1}{(x)} \, dx=x\tan^{-1}{(x)}-\frac{1}{2}\ln{(1+{x}^{2})}

csc1(x)dx=xcsc1(x)ln(x+xx1x2)\int \csc^{-1}{(x)} \, dx=x\csc^{-1}{(x)}-\ln{(x+x\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}})}

sec1(x)dx=xsec1(x)ln(x+xx1x2)\int \sec^{-1}{(x)} \, dx=x\sec^{-1}{(x)}-\ln{(x+x\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}})}

cot1(x)dx=xcot1(x)+12ln(1+x2)\int \cot^{-1}{(x)} \, dx=x\cot^{-1}{(x)}+\frac{1}{2}\ln{(1+{x}^{2})}

例子
sin1(x)dx\int \sin^{-1}{(x)} \, dx
1
sin1(x)dx\int \sin^{-1}{(x)} \, dx上使用分部積分法
Let u=sin1(x)u=\sin^{-1}{(x)}, dv=1dv=1, du=11x2dxdu=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx, v=xv=x

2
將上述內容代回uvvduuv-\int v \, du
(sin1(x))xx1x2dx(\sin^{-1}{(x)})x-\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx

3
x1x2dx\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx上使用換元積分法
Let u=1x2u=1-{x}^{2}, du=2xdxdu=-2x \, dx, then xdx=12dux \, dx=-\frac{1}{2} \, du

4
使用上面的uududu,重寫x1x2dx\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx
12udu\int -\frac{1}{2\sqrt{u}} \, du

5
使用常數因數法則cf(x)dx=cf(x)dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx
121udu-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du

6
u-\sqrt{u}

7
u=1x2u=1-{x}^{2}代回原本的積分。
1x2-\sqrt{1-{x}^{2}}

8
用完成的代回重寫積分。
(sin1(x))x+1x2(\sin^{-1}{(x)})x+\sqrt{1-{x}^{2}}

9
添加常量。
(sin1(x))x+1x2+C(\sin^{-1}{(x)})x+\sqrt{1-{x}^{2}}+C

完成

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