三角换元法

参考 > 微积分学: 积分法

描述

一种积分法，它用三角形标识来简化包含根式表达式的某些积分。法则是：

如果函数包含a2−x2{a}^{2}-{x}^{2}，设x=asin⁡ux=a\sin{u}

如果函数包含a2+x2{a}^{2}+{x}^{2}，设x=atan⁡ux=a\tan{u}

如果函数包含x2−a2{x}^{2}-{a}^{2}，设x=asec⁡ux=a\sec{u}


例子
∫125−x2 dx\int \frac{1}{\sqrt{25-{x}^{2}}} \, dx
1
Use 三角换元法
Let x=5sin⁡ux=5\sin{u}, dx=5cos⁡u dudx=5\cos{u} \, du

2
从上面代回变数。
∫125−(5sin⁡u)2×5cos⁡u du\int \frac{1}{\sqrt{25-{(5\sin{u})}^{2}}}\times 5\cos{u} \, du

3
简化。
∫1 du\int 1 \, du

4
使用此法则：∫a dx=ax+C\int a \, dx=ax+C。
uu

5
从以上步骤，我们知道：
u=sin⁡−1(15x)u=\sin^{-1}{(\frac{1}{5}x)}

6
将上面代回原本的积分。
sin⁡−1(15x)\sin^{-1}{(\frac{1}{5}x)}

7
添加常量。
sin⁡−1(x5)+C\sin^{-1}{(\frac{x}{5})}+C

完成

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