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换元积分法
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> 微积分学: 积分法
描述
一种积分法，通过根据不同变数重写函数来简化函数。目标是将积分转换为更容易解决的积分。它是微分学中链法则的反转。
所使用的新变数通常是
u
u
u
，因此这种方法也被称为“U-代回”。
例子
∫
(
sin
(
x
2
)
)
x
d
x
\int (\sin{({x}^{2})})x \, dx
∫
(
sin
(
x
2
)
)
x
d
x
1
重新组合项。
∫
x
sin
(
x
2
)
d
x
\int x\sin{({x}^{2})} \, dx
∫
x
sin
(
x
2
)
d
x
2
使用
换元积分法
Let
u
=
x
2
u={x}^{2}
u
=
x
2
,
d
u
=
2
x
d
x
du=2x \, dx
d
u
=
2
x
d
x
, then
x
d
x
=
1
2
d
u
x \, dx=\frac{1}{2} \, du
x
d
x
=
2
1
d
u
3
使用上面的
u
u
u
和
d
u
du
d
u
，重写
∫
x
sin
(
x
2
)
d
x
\int x\sin{({x}^{2})} \, dx
∫
x
sin
(
x
2
)
d
x
。
∫
sin
u
2
d
u
\int \frac{\sin{u}}{2} \, du
∫
2
sin
u
d
u
4
使用
常数因数法则
：
∫
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
f
(
x
)
d
x
\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx
∫
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
f
(
x
)
d
x
。
1
2
∫
sin
u
d
u
\frac{1}{2}\int \sin{u} \, du
2
1
∫
sin
u
d
u
5
使用
三角积分法
:
sin
u
\sin{u}
sin
u
的积分是
−
cos
u
-\cos{u}
−
cos
u
。
−
cos
u
2
-\frac{\cos{u}}{2}
−
2
cos
u
6
将
u
=
x
2
u={x}^{2}
u
=
x
2
代回原本的积分。
−
cos
(
x
2
)
2
-\frac{\cos{({x}^{2})}}{2}
−
2
cos
(
x
2
)
7
添加常量。
−
cos
(
x
2
)
2
+
C
-\frac{\cos{({x}^{2})}}{2}+C
−
2
cos
(
x
2
)
+
C
完成
-cos(x^2)/2+C
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