置換積分

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説明

変数を置き換えることで積分が簡単になる方法です。

解きやすい積分に変換することが目的です。微分の連鎖律の逆と言えます。

使用される新しい変数は，通常は慣例によりuuであるため，このメソッドは'U-Substitution'とも呼ばれます


例
∫(sin⁡(x2))x dx\int (\sin{({x}^{2})})x \, dx
1
項をまとめる。
∫xsin⁡(x2) dx\int x\sin{({x}^{2})} \, dx

2
置換積分を使用する。
Let u=x2u={x}^{2}, du=2x dxdu=2x \, dx, then x dx=12 dux \, dx=\frac{1}{2} \, du

3
上記のuuとduduを使用して，∫xsin⁡(x2) dx\int x\sin{({x}^{2})} \, dxを書き直す。
∫sin⁡u2 du\int \frac{\sin{u}}{2} \, du

4
定数倍の法則：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dxを使用する。
12∫sin⁡u du\frac{1}{2}\int \sin{u} \, du

5
三角関数の積分を使用する: sin⁡u\sin{u}の積分は−cos⁡u-\cos{u}。
−cos⁡u2-\frac{\cos{u}}{2}

6
u=x2u={x}^{2}を元の積分に戻す。
−cos⁡(x2)2-\frac{\cos{({x}^{2})}}{2}

7
定数を追加する。
−cos⁡(x2)2+C-\frac{\cos{({x}^{2})}}{2}+C

完了

も参照してください

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