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指数换元法
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> 微积分学: 积分法
描述
一种积分法，它用一个整数指数代回方根，使积分法更容易在这个表达式上使用。
例如，如果
x
1
4
\frac{{x}^{1}}{4}
4
x
1
在函数中，我们将
x
=
u
4
x={u}^{4}
x
=
u
4
。
例子
∫
5
+
x
d
x
\int \sqrt{5+\sqrt{x}} \, dx
∫
5
+
x
d
x
1
Use
指数换元法
.
Let
u
=
5
+
x
u=\sqrt{5+\sqrt{x}}
u
=
5
+
x
,
x
=
u
4
−
10
u
2
+
25
x={u}^{4}-10{u}^{2}+25
x
=
u
4
−
1
0
u
2
+
2
5
, and
d
x
=
4
u
3
−
20
u
d
u
dx=4{u}^{3}-20u \, du
d
x
=
4
u
3
−
2
0
u
d
u
2
扩展。
∫
4
u
4
−
20
u
2
d
u
\int 4{u}^{4}-20{u}^{2} \, du
∫
4
u
4
−
2
0
u
2
d
u
3
使用
指数法则
：
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C
∫
x
n
d
x
=
n
+
1
x
n
+
1
+
C
。
4
u
5
5
−
20
u
3
3
\frac{4{u}^{5}}{5}-\frac{20{u}^{3}}{3}
5
4
u
5
−
3
2
0
u
3
4
将
u
=
5
+
x
u=\sqrt{5+\sqrt{x}}
u
=
5
+
x
代回原本的积分。
4
5
+
x
5
5
−
20
5
+
x
3
3
\frac{4{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{5}}{5}-\frac{20{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{3}}{3}
5
4
5
+
x
5
−
3
2
0
5
+
x
3
5
添加常量。
4
(
5
+
x
)
5
2
5
−
20
(
5
+
x
)
3
2
3
+
C
\frac{4{(5+\sqrt{x})}^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{20{(5+\sqrt{x})}^{\frac{3}{2}}}{3}+C
5
4
(
5
+
x
)
2
5
−
3
2
0
(
5
+
x
)
2
3
+
C
完成
(4*(5+sqrt(x))^(5/2))/5-(20*(5+sqrt(x))^(3/2))/3+C
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