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分部积分法
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> 微积分学: 积分法
描述
一种积分法，使用以下方法转换两个函数的乘积的积分：
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
\int u \, dv=uv-\int v \, d u
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
目标是将积分转换为更容易解决的另一种形式。它是微分学中乘积法则的反转。
例子
例子 1
∫
x
e
x
d
x
\int x{e}^{x} \, dx
∫
x
e
x
d
x
1
在
∫
x
e
x
d
x
\int x{e}^{x} \, dx
∫
x
e
x
d
x
上使用
分部积分法
。
Let
u
=
x
u=x
u
=
x
,
d
v
=
e
x
dv={e}^{x}
d
v
=
e
x
,
d
u
=
d
x
du=dx
d
u
=
d
x
,
v
=
e
x
v={e}^{x}
v
=
e
x
2
将上述内容代回
u
v
−
∫
v
d
u
uv-\int v \, du
u
v
−
∫
v
d
u
。
x
e
x
−
∫
e
x
d
x
x{e}^{x}-\int {e}^{x} \, dx
x
e
x
−
∫
e
x
d
x
3
e
x
{e}^{x}
e
x
的积分是
e
x
{e}^{x}
e
x
。
x
e
x
−
e
x
x{e}^{x}-{e}^{x}
x
e
x
−
e
x
4
添加常量。
x
e
x
−
e
x
+
C
x{e}^{x}-{e}^{x}+C
x
e
x
−
e
x
+
C
完成
x*e^x-e^x+C
例子 2
∫
ln
x
x
5
d
x
\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx
∫
x
5
ln
x
d
x
1
在
∫
ln
x
x
5
d
x
\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx
∫
x
5
l
n
x
d
x
上使用
分部积分法
。
Let
u
=
ln
x
u=\ln{x}
u
=
ln
x
,
d
v
=
1
x
5
dv=\frac{1}{{x}^{5}}
d
v
=
x
5
1
,
d
u
=
1
x
d
x
du=\frac{1}{x} \, dx
d
u
=
x
1
d
x
,
v
=
−
1
4
x
4
v=-\frac{1}{4{x}^{4}}
v
=
−
4
x
4
1
2
将上述内容代回
u
v
−
∫
v
d
u
uv-\int v \, du
u
v
−
∫
v
d
u
。
−
ln
x
4
x
4
−
∫
−
1
4
x
5
d
x
-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\int -\frac{1}{4{x}^{5}} \, dx
−
4
x
4
ln
x
−
∫
−
4
x
5
1
d
x
3
使用
常数因数法则
：
∫
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
f
(
x
)
d
x
\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx
∫
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
f
(
x
)
d
x
。
−
ln
x
4
x
4
+
1
4
∫
1
x
5
d
x
-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}+\frac{1}{4}\int \frac{1}{{x}^{5}} \, dx
−
4
x
4
ln
x
+
4
1
∫
x
5
1
d
x
4
使用
指数法则
：
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C
∫
x
n
d
x
=
n
+
1
x
n
+
1
+
C
。
−
ln
x
4
x
4
−
1
16
x
4
-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}
−
4
x
4
ln
x
−
1
6
x
4
1
5
添加常量。
−
ln
x
4
x
4
−
1
16
x
4
+
C
-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}+C
−
4
x
4
ln
x
−
1
6
x
4
1
+
C
完成
-ln(x)/(4*x^4)-1/(16*x^4)+C
例子 3
∫
x
cos
(
3
x
)
d
x
\int x\cos{(3x)} \, dx
∫
x
cos
(
3
x
)
d
x
1
在
∫
x
cos
3
x
d
x
\int x\cos{3x} \, dx
∫
x
cos
3
x
d
x
上使用
分部积分法
。
Let
u
=
x
u=x
u
=
x
,
d
v
=
cos
3
x
dv=\cos{3x}
d
v
=
cos
3
x
,
d
u
=
d
x
du=dx
d
u
=
d
x
,
v
=
sin
3
x
3
v=\frac{\sin{3x}}{3}
v
=
3
s
i
n
3
x
2
将上述内容代回
u
v
−
∫
v
d
u
uv-\int v \, du
u
v
−
∫
v
d
u
。
x
sin
3
x
3
−
∫
sin
3
x
3
d
x
\frac{x\sin{3x}}{3}-\int \frac{\sin{3x}}{3} \, dx
3
x
sin
3
x
−
∫
3
sin
3
x
d
x
3
使用
常数因数法则
：
∫
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
f
(
x
)
d
x
\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx
∫
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
f
(
x
)
d
x
。
x
sin
3
x
3
−
1
3
∫
sin
3
x
d
x
\frac{x\sin{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int \sin{3x} \, dx
3
x
sin
3
x
−
3
1
∫
sin
3
x
d
x
4
在
∫
sin
3
x
d
x
\int \sin{3x} \, dx
∫
sin
3
x
d
x
上使用
换元积分法
。
Let
u
=
3
x
u=3x
u
=
3
x
,
d
u
=
3
d
x
du=3 \, dx
d
u
=
3
d
x
, then
d
x
=
1
3
d
u
dx=\frac{1}{3} \, du
d
x
=
3
1
d
u
5
使用上面的
u
u
u
和
d
u
du
d
u
，重写
∫
sin
3
x
d
x
\int \sin{3x} \, dx
∫
sin
3
x
d
x
。
∫
sin
u
3
d
u
\int \frac{\sin{u}}{3} \, du
∫
3
sin
u
d
u
6
使用
常数因数法则
：
∫
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
f
(
x
)
d
x
\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx
∫
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
f
(
x
)
d
x
。
1
3
∫
sin
u
d
u
\frac{1}{3}\int \sin{u} \, du
3
1
∫
sin
u
d
u
7
使用
三角积分法
:
sin
u
\sin{u}
sin
u
的积分是
−
cos
u
-\cos{u}
−
cos
u
。
−
cos
u
3
-\frac{\cos{u}}{3}
−
3
cos
u
8
将
u
=
3
x
u=3x
u
=
3
x
代回原本的积分。
−
cos
3
x
3
-\frac{\cos{3x}}{3}
−
3
cos
3
x
9
用完成的代回重写积分。
x
sin
3
x
3
+
cos
3
x
9
\frac{x\sin{3x}}{3}+\frac{\cos{3x}}{9}
3
x
sin
3
x
+
9
cos
3
x
10
添加常量。
x
sin
3
x
3
+
cos
3
x
9
+
C
\frac{x\sin{3x}}{3}+\frac{\cos{3x}}{9}+C
3
x
sin
3
x
+
9
cos
3
x
+
C
完成
(x*sin(3*x))/3+cos(3*x)/9+C
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