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分部积分法
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> 微积分学: 积分法
描述
一种积分法,使用以下方法转换两个函数的乘积的积分:
\(\int u \, dv=uv-\int v \, d u\)
目标是将积分转换为更容易解决的另一种形式。它是微分学中乘积法则的反转。
例子
例子 1
\[\int x{e}^{x} \, dx\]
1
在\(\int x{e}^{x} \, dx\)上使用
分部积分法
。
Let \(u=x\), \(dv={e}^{x}\), \(du=dx\), \(v={e}^{x}\)
2
将上述内容代回\(uv-\int v \, du\)。
\[x{e}^{x}-\int {e}^{x} \, dx\]
3
\({e}^{x}\)的积分是\({e}^{x}\)。
\[x{e}^{x}-{e}^{x}\]
4
添加常量。
\[x{e}^{x}-{e}^{x}+C\]
完成
x*e^x-e^x+C
例子 2
\[\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx\]
1
在\(\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx\)上使用
分部积分法
。
Let \(u=\ln{x}\), \(dv=\frac{1}{{x}^{5}}\), \(du=\frac{1}{x} \, dx\), \(v=-\frac{1}{4{x}^{4}}\)
2
将上述内容代回\(uv-\int v \, du\)。
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\int -\frac{1}{4{x}^{5}} \, dx\]
3
使用
常数因数法则
:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)。
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}+\frac{1}{4}\int \frac{1}{{x}^{5}} \, dx\]
4
使用
指数法则
:\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)。
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}\]
5
添加常量。
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}+C\]
完成
-ln(x)/(4*x^4)-1/(16*x^4)+C
例子 3
\[\int x\cos{(3x)} \, dx\]
1
在\(\int x\cos{3x} \, dx\)上使用
分部积分法
。
Let \(u=x\), \(dv=\cos{3x}\), \(du=dx\), \(v=\frac{\sin{3x}}{3}\)
2
将上述内容代回\(uv-\int v \, du\)。
\[\frac{x\sin{3x}}{3}-\int \frac{\sin{3x}}{3} \, dx\]
3
使用
常数因数法则
:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)。
\[\frac{x\sin{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int \sin{3x} \, dx\]
4
在\(\int \sin{3x} \, dx\)上使用
换元积分法
。
Let \(u=3x\), \(du=3 \, dx\), then \(dx=\frac{1}{3} \, du\)
5
使用上面的\(u\)和\(du\),重写\(\int \sin{3x} \, dx\)。
\[\int \frac{\sin{u}}{3} \, du\]
6
使用
常数因数法则
:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)。
\[\frac{1}{3}\int \sin{u} \, du\]
7
使用
三角积分法
: \(\sin{u}\)的积分是\(-\cos{u}\)。
\[-\frac{\cos{u}}{3}\]
8
将\(u=3x\)代回原本的积分。
\[-\frac{\cos{3x}}{3}\]
9
用完成的代回重写积分。
\[\frac{x\sin{3x}}{3}+\frac{\cos{3x}}{9}\]
10
添加常量。
\[\frac{x\sin{3x}}{3}+\frac{\cos{3x}}{9}+C\]
完成
(x*sin(3*x))/3+cos(3*x)/9+C
相关主题
-
换元积分法
-
指数换元法