三角関数の置換積分

参照 > 微分積分学‎: 積分

説明

三角関数の積分を特定の形にして簡単にする方法です。ルールは次のとおりです。

関数にa2−x2{a}^{2}-{x}^{2}が含まれている場合、x=asin⁡ux=a\sin{u}

関数にa2+x2{a}^{2}+{x}^{2}が含まれている場合、x=atan⁡ux=a\tan{u}

関数にx2−a2{x}^{2}-{a}^{2}が含まれている場合、x=asec⁡ux=a\sec{u}


例
∫125−x2 dx\int \frac{1}{\sqrt{25-{x}^{2}}} \, dx
1
Use 三角関数の置換積分
Let x=5sin⁡ux=5\sin{u}, dx=5cos⁡u dudx=5\cos{u} \, du

2
上の変数を代入する。
∫125−(5sin⁡u)2×5cos⁡u du\int \frac{1}{\sqrt{25-{(5\sin{u})}^{2}}}\times 5\cos{u} \, du

3
簡略化する。
∫1 du\int 1 \, du

4
この定義を使用してください：∫a dx=ax+C\int a \, dx=ax+C。
uu

5
最初の方の手順より，以下がわかっている。
u=sin⁡−1(15x)u=\sin^{-1}{(\frac{1}{5}x)}

6
上記を元の積分に代入する。
sin⁡−1(15x)\sin^{-1}{(\frac{1}{5}x)}

7
定数を追加する。
sin⁡−1(x5)+C\sin^{-1}{(\frac{x}{5})}+C

完了

も参照してください

Cymath foriOSAndroid