Sustitución Trigonométrica

Referencia > Cálculo: Integración

Descripción

Un método de integración que utiliza identidades trigonométricas para simplificar ciertas integrales que contienen expresiones radicales. Las reglas son:

Si la función contiene a2−x2{a}^{2}-{x}^{2}, haz que x=asin⁡ux=a\sin{u}

Si la función contiene a2+x2{a}^{2}+{x}^{2}, haz que x=atan⁡ux=a\tan{u}

Si la función contiene x2−a2{x}^{2}-{a}^{2}, haz que x=asec⁡ux=a\sec{u}


Ejemplos
∫125−x2 dx\int \frac{1}{\sqrt{25-{x}^{2}}} \, dx
1
Use Sustitución Trigonométrica
Let x=5sin⁡ux=5\sin{u}, dx=5cos⁡u dudx=5\cos{u} \, du

2
Sustituye las variables anteriores.
∫125−(5sin⁡u)2×5cos⁡u du\int \frac{1}{\sqrt{25-{(5\sin{u})}^{2}}}\times 5\cos{u} \, du

3
Simplifica.
∫1 du\int 1 \, du

4
Usa esta regla: ∫a dx=ax+C\int a \, dx=ax+C.
uu

5
A partir de los pasos anteriores, sabemos que:
u=sin⁡−1(15x)u=\sin^{-1}{(\frac{1}{5}x)}

6
Sustituye lo anterior nuevamente en la integral original.
sin⁡−1(15x)\sin^{-1}{(\frac{1}{5}x)}

7
Añade la constante.
sin⁡−1(x5)+C\sin^{-1}{(\frac{x}{5})}+C

Hecho

Ver También

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