本週的問題

更新於Sep 2, 2013 4:27 PM

我們怎樣才能找cos2x\cos^{2}x的積分?

以下是答案。



cos2xdx\int \cos^{2}x \, dx

1
使用Pythagorean恆等式cos2x=12+cos2x2\cos^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2}
12+cos2x2dx\int \frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2} \, dx

2
使用求和法則f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx
12dx+cos2x2dx\int \frac{1}{2} \, dx+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx

3
使用此法則:adx=ax+C\int a \, dx=ax+C
x2+cos2x2dx\frac{x}{2}+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx

4
使用常數因數法則cf(x)dx=cf(x)dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx
x2+12cos2xdx\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int \cos{2x} \, dx

5
cos2xdx\int \cos{2x} \, dx上使用換元積分法
Let u=2xu=2x, du=2dxdu=2 \, dx, then dx=12dudx=\frac{1}{2} \, du

6
使用上面的uududu,重寫cos2xdx\int \cos{2x} \, dx
cosu2du\int \frac{\cos{u}}{2} \, du

7
使用常數因數法則cf(x)dx=cf(x)dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx
12cosudu\frac{1}{2}\int \cos{u} \, du

8
使用三角積分法: cosu\cos{u}的積分是sinu\sin{u}
sinu2\frac{\sin{u}}{2}

9
u=2xu=2x代回原本的積分。
sin2x2\frac{\sin{2x}}{2}

10
用完成的代回重寫積分。
x2+sin2x4\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}

11
添加常量。
x2+sin2x4+C\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}+C

完成