本週的问题

更新于Sep 2, 2013 4:27 PM

我们怎样才能找cos⁡2x\cos^{2}x的积分？

以下是答案。



∫cos⁡2x dx\int \cos^{2}x \, dx

1
使用Pythagorean恆等式：cos⁡2x=12+cos⁡2x2\cos^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2}。
∫12+cos⁡2x2 dx\int \frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2} \, dx

2
使用求和法则：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx。
∫12 dx+∫cos⁡2x2 dx\int \frac{1}{2} \, dx+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx

3
使用此法则：∫a dx=ax+C\int a \, dx=ax+C。
x2+∫cos⁡2x2 dx\frac{x}{2}+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx

4
使用常数因数法则：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
x2+12∫cos⁡2x dx\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int \cos{2x} \, dx

5
在∫cos⁡2x dx\int \cos{2x} \, dx上使用换元积分法。
Let u=2xu=2x, du=2 dxdu=2 \, dx, then dx=12 dudx=\frac{1}{2} \, du

6
使用上面的uu和dudu，重写∫cos⁡2x dx\int \cos{2x} \, dx。
∫cos⁡u2 du\int \frac{\cos{u}}{2} \, du

7
使用常数因数法则：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
12∫cos⁡u du\frac{1}{2}\int \cos{u} \, du

8
使用三角积分法: cos⁡u\cos{u}的积分是sin⁡u\sin{u}。
sin⁡u2\frac{\sin{u}}{2}

9
将u=2xu=2x代回原本的积分。
sin⁡2x2\frac{\sin{2x}}{2}

10
用完成的代回重写积分。
x2+sin⁡2x4\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}

11
添加常量。
x2+sin⁡2x4+C\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}+C

完成
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