本週的问题

更新于Dec 23, 2013 12:50 PM

本週的问题来自calculus类别。

我们如何解决cos⁡3x\cos^{3}x的积分？

让我们开始！



∫cos⁡3x dx\int \cos^{3}x \, dx

1
使用Pythagorean恆等式：cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^{2}x=1-\sin^{2}x。
∫(1−sin⁡2x)cos⁡x dx\int (1-\sin^{2}x)\cos{x} \, dx

2
使用换元积分法
Let u=sin⁡xu=\sin{x}, du=cos⁡x dxdu=\cos{x} \, dx

3
使用上面的uu和dudu，重写∫(1−sin⁡2x)cos⁡x dx\int (1-\sin^{2}x)\cos{x} \, dx。
∫1−u2 du\int 1-{u}^{2} \, du

4
使用指数法则：∫xn dx=xn+1n+1+C\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C。
u−u33u-\frac{{u}^{3}}{3}

5
将u=sin⁡xu=\sin{x}代回原本的积分。
sin⁡x−sin⁡3x3\sin{x}-\frac{\sin^{3}x}{3}

6
添加常量。
sin⁡x−sin⁡3x3+C\sin{x}-\frac{\sin^{3}x}{3}+C

完成
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