本週的問題

更新於Mar 3, 2014 2:23 PM

本週我們又遇到了calculus問題：

我們如何解決xln⁡xx\ln{x}的積分？

開始吧！



∫xln⁡x dx\int x\ln{x} \, dx

1
在∫xln⁡x dx\int x\ln{x} \, dx上使用分部積分法。
Let u=ln⁡xu=\ln{x}, dv=xdv=x, du=1x dxdu=\frac{1}{x} \, dx, v=x22v=\frac{{x}^{2}}{2}

2
將上述內容代回uv−∫v duuv-\int v \, du。
x2ln⁡x2−∫x2 dx\frac{{x}^{2}\ln{x}}{2}-\int \frac{x}{2} \, dx

3
使用常數因數法則：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
x2ln⁡x2−12∫x dx\frac{{x}^{2}\ln{x}}{2}-\frac{1}{2}\int x \, dx

4
使用指數法則：∫xn dx=xn+1n+1+C\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C。
x2ln⁡x2−x24\frac{{x}^{2}\ln{x}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}

5
添加常量。
x2ln⁡x2−x24+C\frac{{x}^{2}\ln{x}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}+C

完成
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