\[\int {e}^{x}\sin{x} \, dx\]
1
Usa Integración por Partes en ∫exsin⁡x dx\int {e}^{x}\sin{x} \, dx.
Let u=sin⁡xu=\sin{x}, dv=exdv={e}^{x}, du=cos⁡x dxdu=\cos{x} \, dx, v=exv={e}^{x}

2
Sustituye lo anterior en uv−∫v duuv-\int v \, du.
sin⁡xex−∫excos⁡x dx\sin{x}{e}^{x}-\int {e}^{x}\cos{x} \, dx

3
Usa Integración por Partes en ∫excos⁡x dx\int {e}^{x}\cos{x} \, dx.
Let u=cos⁡xu=\cos{x}, dv=exdv={e}^{x}, du=−sin⁡x dxdu=-\sin{x} \, dx, v=exv={e}^{x}

4
Sustituye lo anterior en uv−∫v duuv-\int v \, du.
exsin⁡x−cos⁡xex+∫−exsin⁡x dx{e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}+\int -{e}^{x}\sin{x} \, dx

5
Iguálalo a la integral original ∫exsin⁡x dx\int {e}^{x}\sin{x} \, dx.
∫exsin⁡x dx=exsin⁡x−cos⁡xex−∫exsin⁡x dx\int {e}^{x}\sin{x} \, dx={e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}-\int {e}^{x}\sin{x} \, dx

6
Suma ∫exsin⁡x dx\int {e}^{x}\sin{x} \, dx a ambos lados.
∫exsin⁡x dx+∫exsin⁡x dx=exsin⁡x−cos⁡xex\int {e}^{x}\sin{x} \, dx+\int {e}^{x}\sin{x} \, dx={e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}

7
Simplifica  ∫exsin⁡x dx+∫exsin⁡x dx\int {e}^{x}\sin{x} \, dx+\int {e}^{x}\sin{x} \, dx  a  2∫exsin⁡x dx2\int {e}^{x}\sin{x} \, dx.
2∫exsin⁡x dx=exsin⁡x−cos⁡xex2\int {e}^{x}\sin{x} \, dx={e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}

8
Divide ambos lados por 22.
∫exsin⁡x dx=exsin⁡x−cos⁡xex2\int {e}^{x}\sin{x} \, dx=\frac{{e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}}{2}

9
Integral original resuelta.
exsin⁡x−cos⁡xex2\frac{{e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}}{2}

10
Añade la constante.
exsin⁡x−cos⁡xex2+C\frac{{e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}}{2}+C

Hecho
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