\[\int {e}^{x}\sin{x} \, dx\]
1
在∫exsin⁡x dx\int {e}^{x}\sin{x} \, dx上使用分部積分法。
Let u=sin⁡xu=\sin{x}, dv=exdv={e}^{x}, du=cos⁡x dxdu=\cos{x} \, dx, v=exv={e}^{x}

2
將上述內容代回uv−∫v duuv-\int v \, du。
sin⁡xex−∫excos⁡x dx\sin{x}{e}^{x}-\int {e}^{x}\cos{x} \, dx

3
在∫excos⁡x dx\int {e}^{x}\cos{x} \, dx上使用分部積分法。
Let u=cos⁡xu=\cos{x}, dv=exdv={e}^{x}, du=−sin⁡x dxdu=-\sin{x} \, dx, v=exv={e}^{x}

4
將上述內容代回uv−∫v duuv-\int v \, du。
exsin⁡x−cos⁡xex+∫−exsin⁡x dx{e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}+\int -{e}^{x}\sin{x} \, dx

5
將其設為等於原本的積分∫exsin⁡x dx\int {e}^{x}\sin{x} \, dx。
∫exsin⁡x dx=exsin⁡x−cos⁡xex−∫exsin⁡x dx\int {e}^{x}\sin{x} \, dx={e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}-\int {e}^{x}\sin{x} \, dx

6
向兩邊添加∫exsin⁡x dx\int {e}^{x}\sin{x} \, dx。
∫exsin⁡x dx+∫exsin⁡x dx=exsin⁡x−cos⁡xex\int {e}^{x}\sin{x} \, dx+\int {e}^{x}\sin{x} \, dx={e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}

7
簡化 ∫exsin⁡x dx+∫exsin⁡x dx\int {e}^{x}\sin{x} \, dx+\int {e}^{x}\sin{x} \, dx 至 2∫exsin⁡x dx2\int {e}^{x}\sin{x} \, dx。
2∫exsin⁡x dx=exsin⁡x−cos⁡xex2\int {e}^{x}\sin{x} \, dx={e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}

8
將兩邊除以22。
∫exsin⁡x dx=exsin⁡x−cos⁡xex2\int {e}^{x}\sin{x} \, dx=\frac{{e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}}{2}

9
原本的積分解決了。
exsin⁡x−cos⁡xex2\frac{{e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}}{2}

10
添加常量。
exsin⁡x−cos⁡xex2+C\frac{{e}^{x}\sin{x}-\cos{x}{e}^{x}}{2}+C

完成
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