∫cos⁡4x dx\int \cos^{4}x \, dx
1
高次の三角関数の積分を使用する。
cos⁡3xsin⁡x4+34∫cos⁡2x dx\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}\int \cos^{2}x \, dx

2
ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽの定理：cos⁡2x=12+cos⁡2x2\cos^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2}を使用する。
cos⁡3xsin⁡x4+34∫12+cos⁡2x2 dx\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}\int \frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2} \, dx

3
和の積分：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dxを使用する。
cos⁡3xsin⁡x4+34(∫12 dx+∫cos⁡2x2 dx)\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}(\int \frac{1}{2} \, dx+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx)

4
この定義を使用してください：∫a dx=ax+C\int a \, dx=ax+C。
cos⁡3xsin⁡x4+34(x2+∫cos⁡2x2 dx)\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}(\frac{x}{2}+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx)

5
定数倍の法則：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dxを使用する。
cos⁡3xsin⁡x4+34(x2+12∫cos⁡2x dx)\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int \cos{2x} \, dx)

6
∫cos⁡2x dx\int \cos{2x} \, dxに置換積分を使用する。
Let u=2xu=2x, du=2 dxdu=2 \, dx, then dx=12 dudx=\frac{1}{2} \, du

7
上記のuuとduduを使用して，∫cos⁡2x dx\int \cos{2x} \, dxを書き直す。
∫cos⁡u2 du\int \frac{\cos{u}}{2} \, du

8
定数倍の法則：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dxを使用する。
12∫cos⁡u du\frac{1}{2}\int \cos{u} \, du

9
三角関数の積分を使用する: cos⁡u\cos{u}の積分はsin⁡u\sin{u}。
sin⁡u2\frac{\sin{u}}{2}

10
u=2xu=2xを元の積分に戻す。
sin⁡2x2\frac{\sin{2x}}{2}

11
完了した置換で積分を書き直す。
cos⁡3xsin⁡x4+34(x2+sin⁡2x4)\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}(\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4})

12
定数を追加する。
cos⁡3xsin⁡x4+34(x2+sin⁡2x4)+C\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}(\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4})+C

完了
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