\[\int \cos^{4}x \, dx\]
1
使用三角降次公式
cos⁡3xsin⁡x4+34∫cos⁡2x dx\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}\int \cos^{2}x \, dx

2
使用Pythagorean恆等式：cos⁡2x=12+cos⁡2x2\cos^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2}。
cos⁡3xsin⁡x4+34∫12+cos⁡2x2 dx\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}\int \frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2} \, dx

3
使用求和法則：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx。
cos⁡3xsin⁡x4+34(∫12 dx+∫cos⁡2x2 dx)\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}(\int \frac{1}{2} \, dx+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx)

4
使用此法則：∫a dx=ax+C\int a \, dx=ax+C。
cos⁡3xsin⁡x4+34(x2+∫cos⁡2x2 dx)\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}(\frac{x}{2}+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx)

5
使用常數因數法則：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
cos⁡3xsin⁡x4+34(x2+12∫cos⁡2x dx)\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int \cos{2x} \, dx)

6
在∫cos⁡2x dx\int \cos{2x} \, dx上使用換元積分法。
Let u=2xu=2x, du=2 dxdu=2 \, dx, then dx=12 dudx=\frac{1}{2} \, du

7
使用上面的uu和dudu，重寫∫cos⁡2x dx\int \cos{2x} \, dx。
∫cos⁡u2 du\int \frac{\cos{u}}{2} \, du

8
使用常數因數法則：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
12∫cos⁡u du\frac{1}{2}\int \cos{u} \, du

9
使用三角積分法: cos⁡u\cos{u}的積分是sin⁡u\sin{u}。
sin⁡u2\frac{\sin{u}}{2}

10
將u=2xu=2x代回原本的積分。
sin⁡2x2\frac{\sin{2x}}{2}

11
用完成的代回重寫積分。
cos⁡3xsin⁡x4+34(x2+sin⁡2x4)\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}(\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4})

12
添加常量。
cos⁡3xsin⁡x4+34(x2+sin⁡2x4)+C\frac{\cos^{3}x\sin{x}}{4}+\frac{3}{4}(\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4})+C

完成
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