三角微分法

參考 > 微積分學: 微分法

描述

ddxsinx=cosx\frac{d}{dx} \sin{x}=\cos{x}

ddxcosx=sinx\frac{d}{dx} \cos{x}=-\sin{x}

ddxtanx=sec2x\frac{d}{dx} \tan{x}=\sec^{2}x

ddxcscx=cscxcotx\frac{d}{dx} \csc{x}=-\csc{x}\cot{x}

ddxsecx=secxtanx\frac{d}{dx} \sec{x}=\sec{x}\tan{x}

ddxcotx=csc2x\frac{d}{dx} \cot{x}=-\csc^{2}x


例子

例子 1

ddx3sinx+7\frac{d}{dx} 3\sin{x}+7
1
使用求和法則ddxf(x)+g(x)=(ddxf(x))+(ddxg(x))\frac{d}{dx} f(x)+g(x)=(\frac{d}{dx} f(x))+(\frac{d}{dx} g(x))
(ddx3sinx)+(ddx7)(\frac{d}{dx} 3\sin{x})+(\frac{d}{dx} 7)

2
使用常數因數法則ddxcf(x)=c(ddxf(x))\frac{d}{dx} cf(x)=c(\frac{d}{dx} f(x))
3(ddxsinx)+(ddx7)3(\frac{d}{dx} \sin{x})+(\frac{d}{dx} 7)

3
使用三角微分法: sinx\sin{x}的導數是cosx\cos{x}
3cosx+(ddx7)3\cos{x}+(\frac{d}{dx} 7)

4
使用此法則:ddxc=0\frac{d}{dx} c=0
3cosx3\cos{x}

完成


 

例子 2

ddxsec2xcosx\frac{d}{dx} \sec^{2}x\cos{x}
1
使用乘積法則來查找sec2xcosx\sec^{2}x\cos{x}的導數。乘積法則表明(fg)=fg+fg(fg)'=f'g+fg'
(ddxsec2x)cosx+sec2x(ddxcosx)(\frac{d}{dx} \sec^{2}x)\cos{x}+\sec^{2}x(\frac{d}{dx} \cos{x})

2
ddxsec2x\frac{d}{dx} \sec^{2}x上使用連鎖法則。設u=secxu=\sec{x}。使用指數法則dduun=nun1\frac{d}{du} {u}^{n}=n{u}^{n-1}
2secx(ddxsecx)cosx+sec2x(ddxcosx)2\sec{x}(\frac{d}{dx} \sec{x})\cos{x}+\sec^{2}x(\frac{d}{dx} \cos{x})

3
使用三角微分法: secx\sec{x}的導數是secxtanx\sec{x}\tan{x}
2sec2xtanxcosx+sec2x(ddxcosx)2\sec^{2}x\tan{x}\cos{x}+\sec^{2}x(\frac{d}{dx} \cos{x})

4
使用三角微分法: cosx\cos{x}的導數是sinx-\sin{x}
2sec2xtanxcosxsec2xsinx2\sec^{2}x\tan{x}\cos{x}-\sec^{2}x\sin{x}

完成


 

例子 3

ddxtanx4+sinx\frac{d}{dx} \frac{\tan{x}}{4}+\sin{x}
1
使用求和法則ddxf(x)+g(x)=(ddxf(x))+(ddxg(x))\frac{d}{dx} f(x)+g(x)=(\frac{d}{dx} f(x))+(\frac{d}{dx} g(x))
(ddxtanx4)+(ddxsinx)(\frac{d}{dx} \frac{\tan{x}}{4})+(\frac{d}{dx} \sin{x})

2
使用常數因數法則ddxcf(x)=c(ddxf(x))\frac{d}{dx} cf(x)=c(\frac{d}{dx} f(x))
14(ddxtanx)+(ddxsinx)\frac{1}{4}(\frac{d}{dx} \tan{x})+(\frac{d}{dx} \sin{x})

3
使用三角微分法: tanx\tan{x}的導數是sec2x\sec^{2}x
sec2x4+(ddxsinx)\frac{\sec^{2}x}{4}+(\frac{d}{dx} \sin{x})

4
使用三角微分法: sinx\sin{x}的導數是cosx\cos{x}
sec2x4+cosx\frac{\sec^{2}x}{4}+\cos{x}

完成


 
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