三角微分法

參考 > 微積分學: 微分法

描述

ddxsin⁡x=cos⁡x\frac{d}{dx} \sin{x}=\cos{x}

ddxcos⁡x=−sin⁡x\frac{d}{dx} \cos{x}=-\sin{x}

ddxtan⁡x=sec⁡2x\frac{d}{dx} \tan{x}=\sec^{2}x

ddxcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡x\frac{d}{dx} \csc{x}=-\csc{x}\cot{x}

ddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡x\frac{d}{dx} \sec{x}=\sec{x}\tan{x}

ddxcot⁡x=−csc⁡2x\frac{d}{dx} \cot{x}=-\csc^{2}x


例子

例子 1

ddx3sin⁡x+7\frac{d}{dx} 3\sin{x}+7
1
使用求和法則：ddxf(x)+g(x)=(ddxf(x))+(ddxg(x))\frac{d}{dx} f(x)+g(x)=(\frac{d}{dx} f(x))+(\frac{d}{dx} g(x))。
(ddx3sin⁡x)+(ddx7)(\frac{d}{dx} 3\sin{x})+(\frac{d}{dx} 7)

2
使用常數因數法則：ddxcf(x)=c(ddxf(x))\frac{d}{dx} cf(x)=c(\frac{d}{dx} f(x))。
3(ddxsin⁡x)+(ddx7)3(\frac{d}{dx} \sin{x})+(\frac{d}{dx} 7)

3
使用三角微分法: sin⁡x\sin{x}的導數是cos⁡x\cos{x}。
3cos⁡x+(ddx7)3\cos{x}+(\frac{d}{dx} 7)

4
使用此法則：ddxc=0\frac{d}{dx} c=0。
3cos⁡x3\cos{x}

完成


 

例子 2

ddxsec⁡2xcos⁡x\frac{d}{dx} \sec^{2}x\cos{x}
1
使用乘積法則來查找sec⁡2xcos⁡x\sec^{2}x\cos{x}的導數。乘積法則表明(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'。
(ddxsec⁡2x)cos⁡x+sec⁡2x(ddxcos⁡x)(\frac{d}{dx} \sec^{2}x)\cos{x}+\sec^{2}x(\frac{d}{dx} \cos{x})

2
在ddxsec⁡2x\frac{d}{dx} \sec^{2}x上使用連鎖法則。設u=sec⁡xu=\sec{x}。使用指數法則：dduun=nun−1\frac{d}{du} {u}^{n}=n{u}^{n-1}。
2sec⁡x(ddxsec⁡x)cos⁡x+sec⁡2x(ddxcos⁡x)2\sec{x}(\frac{d}{dx} \sec{x})\cos{x}+\sec^{2}x(\frac{d}{dx} \cos{x})

3
使用三角微分法: sec⁡x\sec{x}的導數是sec⁡xtan⁡x\sec{x}\tan{x}。
2sec⁡2xtan⁡xcos⁡x+sec⁡2x(ddxcos⁡x)2\sec^{2}x\tan{x}\cos{x}+\sec^{2}x(\frac{d}{dx} \cos{x})

4
使用三角微分法: cos⁡x\cos{x}的導數是−sin⁡x-\sin{x}。
2sec⁡2xtan⁡xcos⁡x−sec⁡2xsin⁡x2\sec^{2}x\tan{x}\cos{x}-\sec^{2}x\sin{x}

完成


 

例子 3

ddxtan⁡x4+sin⁡x\frac{d}{dx} \frac{\tan{x}}{4}+\sin{x}
1
使用求和法則：ddxf(x)+g(x)=(ddxf(x))+(ddxg(x))\frac{d}{dx} f(x)+g(x)=(\frac{d}{dx} f(x))+(\frac{d}{dx} g(x))。
(ddxtan⁡x4)+(ddxsin⁡x)(\frac{d}{dx} \frac{\tan{x}}{4})+(\frac{d}{dx} \sin{x})

2
使用常數因數法則：ddxcf(x)=c(ddxf(x))\frac{d}{dx} cf(x)=c(\frac{d}{dx} f(x))。
14(ddxtan⁡x)+(ddxsin⁡x)\frac{1}{4}(\frac{d}{dx} \tan{x})+(\frac{d}{dx} \sin{x})

3
使用三角微分法: tan⁡x\tan{x}的導數是sec⁡2x\sec^{2}x。
sec⁡2x4+(ddxsin⁡x)\frac{\sec^{2}x}{4}+(\frac{d}{dx} \sin{x})

4
使用三角微分法: sin⁡x\sin{x}的導數是cos⁡x\cos{x}。
sec⁡2x4+cos⁡x\frac{\sec^{2}x}{4}+\cos{x}

完成


 
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