∫3x2−9 dx\int \frac{3}{\sqrt{{x}^{2}-9}} \, dx
1
Usa Regla del Factor Constante: ∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx.
3∫1x2−9 dx3\int \frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-9}} \, dx

2
Use Sustitución Trigonométrica
Let x=3sec⁡ux=3\sec{u}, dx=3sec⁡utan⁡u dudx=3\sec{u}\tan{u} \, du

3
Sustituye las variables anteriores.
∫1(3sec⁡u)2−9×3sec⁡utan⁡u du\int \frac{1}{\sqrt{{(3\sec{u})}^{2}-9}}\times 3\sec{u}\tan{u} \, du

4
Simplifica.
∫sec⁡u du\int \sec{u} \, du

5
Usa Integración Trigonométrica: La integral de sec⁡u\sec{u} es ln⁡(sec⁡u+tan⁡u)\ln{(\sec{u}+\tan{u})}.
ln⁡(sec⁡u+tan⁡u)\ln{(\sec{u}+\tan{u})}

6
A partir de los pasos anteriores, sabemos que:
sec⁡u=13x\sec{u}=\frac{1}{3}x

7
Sustituye lo anterior nuevamente en la integral original.
ln⁡(13x+(13x)2−1)\ln{(\frac{1}{3}x+\sqrt{{(\frac{1}{3}x)}^{2}-1})}

8
Reescribe la integral con la sustitución completada.
3ln⁡(x3+x29−1)3\ln{(\frac{x}{3}+\sqrt{\frac{{x}^{2}}{9}-1})}

9
Añade la constante.
3ln⁡(x3+x29−1)+C3\ln{(\frac{x}{3}+\sqrt{\frac{{x}^{2}}{9}-1})}+C

Hecho
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