\[\int \sec^{3}x \, dx\]
1
∫sec⁡3x dx\int \sec^{3}x \, dxに部分積分を使用する。
Let u=sec⁡xu=\sec{x}, dv=sec⁡2xdv=\sec^{2}x, du=sec⁡xtan⁡x dxdu=\sec{x}\tan{x} \, dx, v=tan⁡xv=\tan{x}

2
上記をuv−∫v duuv-\int v \, duに代入する。
sec⁡xtan⁡x−∫tan⁡2xsec⁡x dx\sec{x}\tan{x}-\int \tan^{2}x\sec{x} \, dx

3
ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽの定理：tan⁡2x=sec⁡2x−1\tan^{2}x=\sec^{2}x-1を使用する。
sec⁡xtan⁡x−∫(sec⁡2x−1)sec⁡x dx\sec{x}\tan{x}-\int (\sec^{2}x-1)\sec{x} \, dx

4
展開。
sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3x−sec⁡x dx\sec{x}\tan{x}-\int \sec^{3}x-\sec{x} \, dx

5
和の積分：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dxを使用する。
sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3x dx+∫sec⁡x dx\sec{x}\tan{x}-\int \sec^{3}x \, dx+\int \sec{x} \, dx

6
元の積分値∫sec⁡3x dx\int \sec^{3}x \, dxと等しくなるように設定します。
∫sec⁡3x dx=sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3x dx+∫sec⁡x dx\int \sec^{3}x \, dx=\sec{x}\tan{x}-\int \sec^{3}x \, dx+\int \sec{x} \, dx

7
∫sec⁡3x dx\int \sec^{3}x \, dx を両辺に加える。
∫sec⁡3x dx+∫sec⁡3x dx=sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡x dx\int \sec^{3}x \, dx+\int \sec^{3}x \, dx=\sec{x}\tan{x}+\int \sec{x} \, dx

8
∫sec⁡3x dx+∫sec⁡3x dx\int \sec^{3}x \, dx+\int \sec^{3}x \, dx を 2∫sec⁡3x dx2\int \sec^{3}x \, dx に簡略化する。
2∫sec⁡3x dx=sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡x dx2\int \sec^{3}x \, dx=\sec{x}\tan{x}+\int \sec{x} \, dx

9
22で両辺を割る。
∫sec⁡3x dx=sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡x dx2\int \sec^{3}x \, dx=\frac{\sec{x}\tan{x}+\int \sec{x} \, dx}{2}

10
元の積分が解けました。
sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡x dx2\frac{\sec{x}\tan{x}+\int \sec{x} \, dx}{2}

11
三角関数の積分を使用する: sec⁡x\sec{x}の積分はln⁡(sec⁡x+tan⁡x)\ln{(\sec{x}+\tan{x})}。
sec⁡xtan⁡x+ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)2\frac{\sec{x}\tan{x}+\ln{(\sec{x}+\tan{x})}}{2}

12
定数を追加する。
sec⁡xtan⁡x+ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)2+C\frac{\sec{x}\tan{x}+\ln{(\sec{x}+\tan{x})}}{2}+C

完了
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