∫25x2−4x dx\int \frac{\sqrt{25{x}^{2}-4}}{x} \, dx
1
Use 三角换元法
Let x=25sec⁡ux=\frac{2}{5}\sec{u}, dx=2sec⁡utan⁡u5 dudx=\frac{2\sec{u}\tan{u}}{5} \, du

2
从上面代回变数。
∫25(25sec⁡u)2−425sec⁡u×2sec⁡utan⁡u5 du\int \frac{\sqrt{25{(\frac{2}{5}\sec{u})}^{2}-4}}{\frac{2}{5}\sec{u}}\times \frac{2\sec{u}\tan{u}}{5} \, du

3
简化。
∫2tan⁡2u du\int 2\tan^{2}u \, du

4
使用常数因数法则：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
2∫tan⁡2u du2\int \tan^{2}u \, du

5
使用Pythagorean恆等式：tan⁡2x=sec⁡2x−1\tan^{2}x=\sec^{2}x-1。
2∫sec⁡2u−1 du2\int \sec^{2}u-1 \, du

6
使用求和法则：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx。
2(∫sec⁡2u du+∫−1 du)2(\int \sec^{2}u \, du+\int -1 \, du)

7
tan⁡u\tan{u}的导数是sec⁡2u\sec^{2}u。
2(tan⁡u+∫−1 du)2(\tan{u}+\int -1 \, du)

8
使用此法则：∫a dx=ax+C\int a \, dx=ax+C。
2(tan⁡u−u)2(\tan{u}-u)

9
从以上步骤，我们知道：
sec⁡u=52xtan⁡u=(52x)2−1\begin{aligned}&\sec{u}=\frac{5}{2}x\\&\tan{u}=\sqrt{{(\frac{5}{2}x)}^{2}-1}\end{aligned}

10
将上面代回原本的积分。
2((52x)2−1−sec⁡−1(52x))2(\sqrt{{(\frac{5}{2}x)}^{2}-1}-\sec^{-1}{(\frac{5}{2}x)})

11
添加常量。
2(25x24−1−sec⁡−1(5x2))+C2(\sqrt{\frac{25{x}^{2}}{4}-1}-\sec^{-1}{(\frac{5x}{2})})+C

完成
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