\[\int \frac{1}{{x}^{2}\sqrt{{x}^{2}-9}} \, dx\]
1
Use 三角换元法
Let x=3sec⁡ux=3\sec{u}, dx=3sec⁡utan⁡u dudx=3\sec{u}\tan{u} \, du

2
从上面代回变数。
∫1(3sec⁡u)2(3sec⁡u)2−9×3sec⁡utan⁡u du\int \frac{1}{{(3\sec{u})}^{2}\sqrt{{(3\sec{u})}^{2}-9}}\times 3\sec{u}\tan{u} \, du

3
简化。
∫19sec⁡u du\int \frac{1}{9\sec{u}} \, du

4
使用常数因数法则：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
19∫cos⁡u du\frac{1}{9}\int \cos{u} \, du

5
使用三角积分法: cos⁡u\cos{u}的积分是sin⁡u\sin{u}。
sin⁡u9\frac{\sin{u}}{9}

6
从以上步骤，我们知道：
u=sec⁡−1(13x)u=\sec^{-1}{(\frac{1}{3}x)}

7
将上面代回原本的积分。
1−1(13x)29\frac{\sqrt{1-\frac{1}{{(\frac{1}{3}x)}^{2}}}}{9}

8
添加常量。
1−9x29+C\frac{\sqrt{1-\frac{9}{{x}^{2}}}}{9}+C

完成
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