∫1(1+x2)2 dx\int \frac{1}{{(1+{x}^{2})}^{2}} \, dx
1
Use 三角换元法
Let x=tan⁡ux=\tan{u}, dx=sec⁡2u dudx=\sec^{2}u \, du

2
从上面代回变数。
∫1(1+(tan⁡u)2)2sec⁡2u du\int \frac{1}{{(1+{(\tan{u})}^{2})}^{2}}\sec^{2}u \, du

3
简化。
∫cos⁡2u du\int \cos^{2}u \, du

4
使用Pythagorean恆等式：cos⁡2x=12+cos⁡2x2\cos^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2}。
∫12+cos⁡2u2 du\int \frac{1}{2}+\frac{\cos{2u}}{2} \, du

5
使用求和法则：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx。
∫12 du+∫cos⁡2u2 du\int \frac{1}{2} \, du+\int \frac{\cos{2u}}{2} \, du

6
使用此法则：∫a dx=ax+C\int a \, dx=ax+C。
u2+∫cos⁡2u2 du\frac{u}{2}+\int \frac{\cos{2u}}{2} \, du

7
使用常数因数法则：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
u2+12∫cos⁡2u du\frac{u}{2}+\frac{1}{2}\int \cos{2u} \, du

8
在∫cos⁡2u du\int \cos{2u} \, du上使用换元积分法。
Let w=2uw=2u, dw=2 dudw=2 \, du, then du=12 dwdu=\frac{1}{2} \, dw

9
使用上面的ww和dwdw，重写∫cos⁡2u du\int \cos{2u} \, du。
∫cos⁡w2 dw\int \frac{\cos{w}}{2} \, dw

10
使用常数因数法则：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
12∫cos⁡w dw\frac{1}{2}\int \cos{w} \, dw

11
使用三角积分法: cos⁡w\cos{w}的积分是sin⁡w\sin{w}。
sin⁡w2\frac{\sin{w}}{2}

12
将w=2uw=2u代回原本的积分。
sin⁡2u2\frac{\sin{2u}}{2}

13
用完成的代回重写积分。
u2+sin⁡2u4\frac{u}{2}+\frac{\sin{2u}}{4}

14
从以上步骤，我们知道：
u=tan⁡−1(x)u=\tan^{-1}{(x)}

15
将上面代回原本的积分。
tan⁡−1(x)2+2×x1+x2×11+x24\frac{\tan^{-1}{(x)}}{2}+\frac{2\times \frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}\times \frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}}{4}

16
添加常量。
tan⁡−1(x)2+x2(1+x2)+C\frac{\tan^{-1}{(x)}}{2}+\frac{x}{2(1+{x}^{2})}+C

完成
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