\[\frac{{x}^{2}+x+2}{{({x}^{2}+2)}^{2}}\]
1
部分分式分解開始。
x2+x+2(x2+2)2=Ax+Bx2+2+Cx+D(x2+2)2\frac{{x}^{2}+x+2}{{({x}^{2}+2)}^{2}}=\frac{Ax+B}{{x}^{2}+2}+\frac{Cx+D}{{({x}^{2}+2)}^{2}}

2
用公分母重寫等式的右邊
x2+x+2(x2+2)2=(Ax+B)(x2+2)+Cx+D(x2+2)2\frac{{x}^{2}+x+2}{{({x}^{2}+2)}^{2}}=\frac{(Ax+B)({x}^{2}+2)+Cx+D}{{({x}^{2}+2)}^{2}}

3
取消(x2+2)2{({x}^{2}+2)}^{2}。
x2+x+2=(Ax+B)(x2+2)+Cx+D{x}^{2}+x+2=(Ax+B)({x}^{2}+2)+Cx+D

4
擴展。
x2+x+2=Ax3+2Ax+Bx2+2B+Cx+D{x}^{2}+x+2=A{x}^{3}+2Ax+B{x}^{2}+2B+Cx+D

5
x2+x+2=Ax3+Bx2+(2A+C)x+2B+D{x}^{2}+x+2=A{x}^{3}+B{x}^{2}+(2A+C)x+2B+D

6
A=0B=12A+C=12B+D=2\begin{aligned}&A=0\\&B=1\\&2A+C=1\\&2B+D=2\end{aligned}

7
求解方程組。
A=0B=1C=1D=0\begin{aligned}&A=0\\&B=1\\&C=1\\&D=0\end{aligned}

8
將A,B,C,DA,B,C,D代回原本的的表達式。
x2+x+2(x2+2)2=1x2+2+x(x2+2)2\frac{{x}^{2}+x+2}{{({x}^{2}+2)}^{2}}=\frac{1}{{x}^{2}+2}+\frac{x}{{({x}^{2}+2)}^{2}}

9
部分分式分解完成。
1x2+2+x(x2+2)2\frac{1}{{x}^{2}+2}+\frac{x}{{({x}^{2}+2)}^{2}}

完成
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