\[\int {e}^{x}(2-{x}^{2}) \, dx\]
1
擴展。
∫2ex−exx2 dx\int 2{e}^{x}-{e}^{x}{x}^{2} \, dx

2
使用求和法則：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx。
∫2ex dx−∫exx2 dx\int 2{e}^{x} \, dx-\int {e}^{x}{x}^{2} \, dx

3
使用常數因數法則：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
2∫ex dx−∫exx2 dx2\int {e}^{x} \, dx-\int {e}^{x}{x}^{2} \, dx

4
ex{e}^{x}的積分是ex{e}^{x}。
2ex−∫exx2 dx2{e}^{x}-\int {e}^{x}{x}^{2} \, dx

5
在∫exx2 dx\int {e}^{x}{x}^{2} \, dx上使用分部積分法。
Let u=x2u={x}^{2}, dv=exdv={e}^{x}, du=2x dxdu=2x \, dx, v=exv={e}^{x}

6
將上述內容代回uv−∫v duuv-\int v \, du。
2ex−x2ex+∫2xex dx2{e}^{x}-{x}^{2}{e}^{x}+\int 2x{e}^{x} \, dx

7
使用常數因數法則：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
2ex−x2ex+2∫xex dx2{e}^{x}-{x}^{2}{e}^{x}+2\int x{e}^{x} \, dx

8
在∫xex dx\int x{e}^{x} \, dx上使用分部積分法。
Let u=xu=x, dv=exdv={e}^{x}, du=dxdu=dx, v=exv={e}^{x}

9
將上述內容代回uv−∫v duuv-\int v \, du。
2ex−x2ex+2(xex−∫ex dx)2{e}^{x}-{x}^{2}{e}^{x}+2(x{e}^{x}-\int {e}^{x} \, dx)

10
ex{e}^{x}的積分是ex{e}^{x}。
−x2ex+2xex-{x}^{2}{e}^{x}+2x{e}^{x}

11
添加常量。
−x2ex+2xex+C-{x}^{2}{e}^{x}+2x{e}^{x}+C

完成
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