∫sin⁡4xcos⁡3x dx\int \frac{\sin^{4}x}{\cos^{3}x} \, dx
1
使用Pythagorean恆等式：sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x=1。
∫(1−cos⁡2x)2cos⁡3x dx\int \frac{{(1-\cos^{2}x)}^{2}}{\cos^{3}x} \, dx

2
擴展。
∫1−2cos⁡2x+cos⁡4xcos⁡3x dx\int \frac{1-2\cos^{2}x+\cos^{4}x}{\cos^{3}x} \, dx

3
拆分分數。
∫1cos⁡3x+−2cos⁡2xcos⁡3x+cos⁡4xcos⁡3x dx\int \frac{1}{\cos^{3}x}+\frac{-2\cos^{2}x}{\cos^{3}x}+\frac{\cos^{4}x}{\cos^{3}x} \, dx

4
使用求和法則：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx。
∫1cos⁡3x dx+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\int \frac{1}{\cos^{3}x} \, dx+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx

5
使用Reciprocal恆等式：1cos⁡3x=sec⁡3x\frac{1}{\cos^{3}x}=\sec^{3}x。
∫sec⁡3x dx+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\int \sec^{3}x \, dx+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx

6
在∫sec⁡3x dx\int \sec^{3}x \, dx上使用分部積分法。
Let u=sec⁡xu=\sec{x}, dv=sec⁡2xdv=\sec^{2}x, du=sec⁡xtan⁡x dxdu=\sec{x}\tan{x} \, dx, v=tan⁡xv=\tan{x}

7
將上述內容代回uv−∫v duuv-\int v \, du。
sec⁡xtan⁡x−∫tan⁡2xsec⁡x dx+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\sec{x}\tan{x}-\int \tan^{2}x\sec{x} \, dx+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx

8
使用Pythagorean恆等式：tan⁡2x=sec⁡2x−1\tan^{2}x=\sec^{2}x-1。
sec⁡xtan⁡x−∫(sec⁡2x−1)sec⁡x dx+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\sec{x}\tan{x}-\int (\sec^{2}x-1)\sec{x} \, dx+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx

9
擴展。
sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3x−sec⁡x dx+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\sec{x}\tan{x}-\int \sec^{3}x-\sec{x} \, dx+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx

10
使用求和法則：∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx。
sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3x dx+∫sec⁡x dx+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\sec{x}\tan{x}-\int \sec^{3}x \, dx+\int \sec{x} \, dx+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx

11
將其設為等於原本的積分∫sec⁡3x dx+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\int \sec^{3}x \, dx+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx。
∫sec⁡3x dx+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx=sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3x dx+∫sec⁡x dx+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\int \sec^{3}x \, dx+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx=\sec{x}\tan{x}-\int \sec^{3}x \, dx+\int \sec{x} \, dx+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx

12
取消兩邊的∫−2cos⁡x dx\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx。
∫sec⁡3x dx+∫cos⁡x dx=sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3x dx+∫sec⁡x dx+∫cos⁡x dx\int \sec^{3}x \, dx+\int \cos{x} \, dx=\sec{x}\tan{x}-\int \sec^{3}x \, dx+\int \sec{x} \, dx+\int \cos{x} \, dx

13
取消兩邊的∫cos⁡x dx\int \cos{x} \, dx。
∫sec⁡3x dx=sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3x dx+∫sec⁡x dx\int \sec^{3}x \, dx=\sec{x}\tan{x}-\int \sec^{3}x \, dx+\int \sec{x} \, dx

14
向兩邊添加∫sec⁡3x dx\int \sec^{3}x \, dx。
∫sec⁡3x dx+∫sec⁡3x dx=sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡x dx\int \sec^{3}x \, dx+\int \sec^{3}x \, dx=\sec{x}\tan{x}+\int \sec{x} \, dx

15
簡化 ∫sec⁡3x dx+∫sec⁡3x dx\int \sec^{3}x \, dx+\int \sec^{3}x \, dx 至 2∫sec⁡3x dx2\int \sec^{3}x \, dx。
2∫sec⁡3x dx=sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡x dx2\int \sec^{3}x \, dx=\sec{x}\tan{x}+\int \sec{x} \, dx

16
將兩邊除以22。
∫sec⁡3x dx=sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡x dx2\int \sec^{3}x \, dx=\frac{\sec{x}\tan{x}+\int \sec{x} \, dx}{2}

17
原本的積分解決了。
sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡x dx2+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\frac{\sec{x}\tan{x}+\int \sec{x} \, dx}{2}+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx

18
使用三角積分法: sec⁡x\sec{x}的積分是ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)\ln{(\sec{x}+\tan{x})}。
sec⁡xtan⁡x+ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)2+∫−2cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\frac{\sec{x}\tan{x}+\ln{(\sec{x}+\tan{x})}}{2}+\int -\frac{2}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx

19
使用常數因數法則：∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx。
sec⁡xtan⁡x+ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)2−2∫1cos⁡x dx+∫cos⁡x dx\frac{\sec{x}\tan{x}+\ln{(\sec{x}+\tan{x})}}{2}-2\int \frac{1}{\cos{x}} \, dx+\int \cos{x} \, dx

20
使用Reciprocal恆等式：1cos⁡x=sec⁡x\frac{1}{\cos{x}}=\sec{x}。
sec⁡xtan⁡x+ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)2−2∫sec⁡x dx+∫cos⁡x dx\frac{\sec{x}\tan{x}+\ln{(\sec{x}+\tan{x})}}{2}-2\int \sec{x} \, dx+\int \cos{x} \, dx

21
使用三角積分法: sec⁡x\sec{x}的積分是ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)\ln{(\sec{x}+\tan{x})}。
sec⁡xtan⁡x+ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)2−2ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)+∫cos⁡x dx\frac{\sec{x}\tan{x}+\ln{(\sec{x}+\tan{x})}}{2}-2\ln{(\sec{x}+\tan{x})}+\int \cos{x} \, dx

22
使用三角積分法: cos⁡x\cos{x}的積分是sin⁡x\sin{x}。
sec⁡xtan⁡x+ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)2−2ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)+sin⁡x\frac{\sec{x}\tan{x}+\ln{(\sec{x}+\tan{x})}}{2}-2\ln{(\sec{x}+\tan{x})}+\sin{x}

23
添加常量。
sec⁡xtan⁡x+ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)2−2ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)+sin⁡x+C\frac{\sec{x}\tan{x}+\ln{(\sec{x}+\tan{x})}}{2}-2\ln{(\sec{x}+\tan{x})}+\sin{x}+C

完成
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