Sustitución de Exponente

Referencia > Cálculo: Integración

Descripción

Un método de integración que tiene como objetivo sustituir a las raíces enésimas en una función - que son difíciles de integrar - con potencias enteras que pueden ser integradas fácilmente.

Por ejemplo, si \(\sqrt[4]{x}\) está en la función, vamos a hacer que \(x={u}^{4}\).


Ejemplos
\[\int \sqrt{5+\sqrt{x}} \, dx\]
1
Use Sustitución de Exponente.
Let \(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\), \(x={u}^{4}-10{u}^{2}+25\), and \(dx=4{u}^{3}-20u \, du\)

2
Expandir.
\[\int 4{u}^{4}-20{u}^{2} \, du\]

3
Usa Regla del Exponente: \(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\).
\[\frac{4{u}^{5}}{5}-\frac{20{u}^{3}}{3}\]

4
Sustituye \(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\) de nuevo en la integral original.
\[\frac{4{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{5}}{5}-\frac{20{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{3}}{3}\]

5
Añade la constante.
\[\frac{4{(5+\sqrt{x})}^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{20{(5+\sqrt{x})}^{\frac{3}{2}}}{3}+C\]

Hecho

Ver También

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